Номер 17.21, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.21. В равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 16 см, вписан круг. В этот круг вписан равносторонний треугольник, в этот треугольник вписан круг и т. д. Найдите значение суммы площадей вписанных кругов.

Эта задача сводится к нахождению суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Членами этой прогрессии являются площади последовательно вписанных кругов. Сумма $S$ такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($|q| < 1$).

1. Найдем площадь первого вписанного круга ($S_1$)

Радиус $r$ круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной $a$, определяется формулой:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Сторона первого треугольника $a_1 = 16$ см. Тогда радиус первого вписанного круга $r_1$ равен:$r_1 = \frac{16}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см.

Площадь этого круга $S_1$ (первый член нашей прогрессии) равна:$S_1 = \pi r_1^2 = \pi \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{64\pi}{3}$ см$^2$.

2. Найдем знаменатель геометрической прогрессии ($q$)

Рассмотрим произвольный шаг этого процесса. Пусть имеется круг радиуса $R$. В него вписан равносторонний треугольник. Радиус $R$ является радиусом описанной окружности для этого треугольника. Сторона такого треугольника $a_{след}$ связана с $R$ соотношением:$a_{след} = R\sqrt{3}$

В этот треугольник со стороной $a_{след}$ вписывается новый круг радиусом $r$. Его радиус вычисляется по формуле:$r = \frac{a_{след}}{2\sqrt{3}}$

Подставим выражение для $a_{след}$ в эту формулу, чтобы найти связь между радиусами $R$ и $r$:$r = \frac{R\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{R}{2}$

Это означает, что радиус каждого следующего круга в 2 раза меньше радиуса предыдущего. Знаменатель прогрессии $q$ — это отношение площадей двух последовательных кругов:$q = \frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \left(\frac{r}{R}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

3. Найдем сумму площадей всех вписанных кругов

Теперь, зная первый член $S_1 = \frac{64\pi}{3}$ и знаменатель $q = \frac{1}{4}$, мы можем найти сумму всех площадей:$S = \frac{S_1}{1-q} = \frac{\frac{64\pi}{3}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{64\pi}{3}}{\frac{3}{4}}$

$S = \frac{64\pi}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{256\pi}{9}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{256\pi}{9}$ см$^2$.