Номер 17.15, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.15. Значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 16 больше ее первого члена, а значение суммы ее первых двух членов равно 24. Найдите восьмой член этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Из условия задачи известно, что значение суммы прогрессии на 16 больше ее первого члена. Это можно записать в виде уравнения:

$S = b_1 + 16$

Подставим формулу для суммы $S$:

$\frac{b_1}{1 - q} = b_1 + 16$

Преобразуем это уравнение:

$b_1 = (b_1 + 16)(1 - q)$

$b_1 = b_1 - b_1 q + 16 - 16q$

$0 = -b_1 q + 16 - 16q$

$b_1 q = 16 - 16q$

$b_1 q = 16(1 - q)$ (1)

Также из условия известно, что сумма первых двух членов равна 24. Второй член прогрессии $b_2 = b_1 q$. Запишем второе уравнение:

$b_1 + b_2 = 24$

$b_1 + b_1 q = 24$

$b_1(1 + q) = 24$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:

$\begin{cases} b_1 q = 16(1 - q) \\ b_1(1 + q) = 24 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b_1$:

$b_1 = \frac{24}{1 + q}$

Подставим это выражение для $b_1$ в первое уравнение:

$\frac{24}{1 + q} \cdot q = 16(1 - q)$

$24q = 16(1 - q)(1 + q)$

$24q = 16(1 - q^2)$

Разделим обе части уравнения на 8:

$3q = 2(1 - q^2)$

$3q = 2 - 2q^2$

$2q^2 + 3q - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$q_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Поскольку прогрессия является бесконечно убывающей, должно выполняться условие $|q| < 1$. Этому условию удовлетворяет только $q_1 = \frac{1}{2}$. Значение $q_2 = -2$ не подходит.

Итак, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя уравнение (2):

$b_1 = \frac{24}{1 + q} = \frac{24}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{24}{\frac{3}{2}} = 24 \cdot \frac{2}{3} = 16$

Итак, $b_1 = 16$ и $q = \frac{1}{2}$.

Нам нужно найти восьмой член этой прогрессии, $b_8$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 q^{n-1}$.

$b_8 = b_1 q^{8-1} = b_1 q^7$

$b_8 = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 2^4 \cdot \frac{1}{2^7} = \frac{2^4}{2^7} = 2^{4-7} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.