Страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

17.11. Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии,

если известно:

1) $b_1 = 15, S = 18;$

2) $b_1 = 18, S = 15.$

Для нахождения знаменателя бесконечной геометрической прогрессии воспользуемся формулой ее суммы: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $S$ — сумма прогрессии, $b_1$ — ее первый член, а $q$ — знаменатель. Формула справедлива при $|q| < 1$.

Выразим из этой формулы знаменатель $q$:

$S \cdot (1 - q) = b_1$

$1 - q = \frac{b_1}{S}$

$q = 1 - \frac{b_1}{S}$

Теперь подставим известные значения для каждого случая.

1) Дано: $b_1 = 15$, $S = 18$.

Найдем знаменатель $q$:

$q = 1 - \frac{15}{18} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.

Проверим условие сходимости: $|\frac{1}{6}| < 1$. Условие выполняется, следовательно, такое значение знаменателя возможно.

Ответ: $\frac{1}{6}$

2) Дано: $b_1 = 18$, $S = 15$.

Найдем знаменатель $q$:

$q = 1 - \frac{18}{15} = 1 - \frac{6}{5} = \frac{5}{5} - \frac{6}{5} = -\frac{1}{5}$.

Проверим условие сходимости: $|-\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1$. Условие выполняется, следовательно, такое значение знаменателя возможно.

Ответ: $-\frac{1}{5}$

17.12. Значение произведения первого, третьего и пятого членов бесконечно убывающей прогрессии равно $8$, а значение суммы ее второго и четвертого членов равно ($-5$). Найдите значение суммы всех членов геометрической прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для такой прогрессии выполняется условие $|q| < 1$. Члены прогрессии находятся по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно первому условию, произведение первого, третьего и пятого членов равно 8. Запишем это в виде уравнения: $b_1 \cdot b_3 \cdot b_5 = 8$. Выразим $b_3$ и $b_5$ через $b_1$ и $q$: $b_3 = b_1 q^2$ и $b_5 = b_1 q^4$. Подставив эти выражения в уравнение, получим: $b_1 \cdot (b_1 q^2) \cdot (b_1 q^4) = 8$, что упрощается до $b_1^3 q^6 = 8$ или $(b_1 q^2)^3 = 2^3$. Отсюда следует первое соотношение: $b_1 q^2 = 2$.

Согласно второму условию, сумма второго и четвертого членов равна -5. Запишем это в виде уравнения: $b_2 + b_4 = -5$. Выразим $b_2$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$: $b_2 = b_1 q$ и $b_4 = b_1 q^3$. Подставив, получим: $b_1 q + b_1 q^3 = -5$, что можно записать как $b_1 q (1 + q^2) = -5$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $b_1 q^2 = 2$ и $b_1 q (1 + q^2) = -5$. Из первого уравнения выразим $b_1 = \frac{2}{q^2}$ (поскольку $b_1 q^2 = 2$, то $q \neq 0$). Подставим это во второе уравнение: $(\frac{2}{q^2}) q (1 + q^2) = -5$. Упрощаем: $\frac{2}{q} (1 + q^2) = -5$, что приводит к квадратному уравнению $2(1 + q^2) = -5q$, или $2q^2 + 5q + 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения: $q_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$ и $q_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

Прогрессия является бесконечно убывающей, поэтому должно выполняться условие $|q| < 1$. Из двух найденных корней этому условию удовлетворяет только $q = -0.5$, так как $|-0.5| < 1$, а $|-2| > 1$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ из соотношения $b_1 = \frac{2}{q^2}$: $b_1 = \frac{2}{(-0.5)^2} = \frac{2}{0.25} = 8$.

Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставим найденные значения $b_1 = 8$ и $q = -0.5$: $S = \frac{8}{1 - (-0.5)} = \frac{8}{1.5} = \frac{8}{3/2} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$

17.13. Найдите значение суммы $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3} - 3}{2 + \sqrt{3}} + \dots$

Данная сумма представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии. Обозначим члены этой прогрессии как $b_1, b_2, b_3, \dots$

Первый член прогрессии: $b_1 = \sqrt{3}$.

Второй член прогрессии: $b_2 = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$.

Третий член прогрессии: $b_3 = \frac{2\sqrt{3}-3}{2 + \sqrt{3}}$.

Для того чтобы определить, является ли эта последовательность геометрической прогрессией, найдем частное от деления второго члена на первый. Это будет наш предполагаемый знаменатель прогрессии $q$.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$

Упростим выражение для $q$, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(2 - \sqrt{3})$:

$q = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь проверим, соответствует ли третий член прогрессии этой закономерности, то есть выполняется ли равенство $b_3 = b_2 \cdot q$.

$b_2 \cdot q = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \cdot (2 - \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}}$.

Сравним это с исходным выражением для $b_3$. Преобразуем числитель $b_3$:

$2\sqrt{3}-3 = \sqrt{3} \cdot 2 - (\sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$.

Таким образом, $b_3 = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}}$.

Выражения совпали, следовательно, данная сумма действительно является суммой членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \sqrt{3}$ и знаменателем $q = 2 - \sqrt{3}$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует (сходится), если модуль ее знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Проверим это условие:

$q = 2 - \sqrt{3}$. Поскольку $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$, то $0.2 < 2 - \sqrt{3} < 0.3$. Это значение находится в интервале $(-1, 1)$, так что $|q| < 1$. Прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти.

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим наши значения $b_1$ и $q$:

$S = \frac{\sqrt{3}}{1 - (2 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{1 - 2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$:

$S = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$.

17.14. 1) Известно, что в бесконечно убывающей геометрической прогрессии каждый член в 2,5 раза больше суммы всех последующих членов. Найдите знаменатель прогрессии.

2) Известно, что в бесконечно убывающей геометрической прогрессии каждый член в 4 раза больше значения суммы всех последующих членов. Найдите знаменатель прогрессии.

1)

Пусть задана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ со знаменателем $q$. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ее знаменатель должен удовлетворять условию $|q| < 1$.

Рассмотрим произвольный член этой прогрессии $b_n$. Сумма всех последующих членов ($b_{n+1}, b_{n+2}, ...$) также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ее первый член равен $b_{n+1}$, а знаменатель тот же — $q$.

Сумму этой "остаточной" прогрессии, обозначим ее $S_{n+1}$, можно найти по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{a_1}{1-q}$:

$S_{n+1} = b_{n+1} + b_{n+2} + b_{n+3} + ... = \frac{b_{n+1}}{1-q}$

По условию задачи, каждый член в 2,5 раза больше суммы всех последующих членов. Запишем это условие для n-го члена:

$b_n = 2.5 \cdot S_{n+1}$

Подставим в это равенство выражение для $S_{n+1}$:

$b_n = 2.5 \cdot \frac{b_{n+1}}{1-q}$

Мы знаем, что для любой геометрической прогрессии справедливо соотношение $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Подставим его в наше уравнение:

$b_n = 2.5 \cdot \frac{b_n \cdot q}{1-q}$

Так как прогрессия не является стационарной (иначе условие не может выполняться для ненулевых членов), мы можем считать, что $b_n \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $b_n$:

$1 = 2.5 \cdot \frac{q}{1-q}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:

$1-q = 2.5q$

$1 = 2.5q + q$

$1 = 3.5q$

$q = \frac{1}{3.5} = \frac{1}{7/2} = \frac{2}{7}$

Полученное значение знаменателя $q = \frac{2}{7}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$, так как $|\frac{2}{7}| < 1$. Следовательно, это и есть искомый знаменатель.

Ответ: $q = \frac{2}{7}$.

2)

Данная задача решается аналогично предыдущей. Пусть $b_n$ — n-ый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель, где $|q| < 1$.

Сумма всех членов, следующих за $b_n$, равна $S_{n+1} = \frac{b_{n+1}}{1-q}$.

По условию, каждый член в 4 раза больше значения суммы всех последующих членов. Запишем это математически:

$b_n = 4 \cdot S_{n+1}$

Подставляя выражение для суммы и соотношение $b_{n+1} = b_n \cdot q$, получаем:

$b_n = 4 \cdot \frac{b_n \cdot q}{1-q}$

Предполагая, что $b_n \neq 0$, сокращаем обе части на $b_n$:

$1 = 4 \cdot \frac{q}{1-q}$

Решаем уравнение для нахождения $q$:

$1-q = 4q$

$1 = 4q + q$

$1 = 5q$

$q = \frac{1}{5}$

Проверяем, удовлетворяет ли найденное значение условию бесконечно убывающей прогрессии: $|\frac{1}{5}| < 1$. Условие выполняется.

Ответ: $q = \frac{1}{5}$.

17.15. Значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 16 больше ее первого члена, а значение суммы ее первых двух членов равно 24. Найдите восьмой член этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Из условия задачи известно, что значение суммы прогрессии на 16 больше ее первого члена. Это можно записать в виде уравнения:

$S = b_1 + 16$

Подставим формулу для суммы $S$:

$\frac{b_1}{1 - q} = b_1 + 16$

Преобразуем это уравнение:

$b_1 = (b_1 + 16)(1 - q)$

$b_1 = b_1 - b_1 q + 16 - 16q$

$0 = -b_1 q + 16 - 16q$

$b_1 q = 16 - 16q$

$b_1 q = 16(1 - q)$ (1)

Также из условия известно, что сумма первых двух членов равна 24. Второй член прогрессии $b_2 = b_1 q$. Запишем второе уравнение:

$b_1 + b_2 = 24$

$b_1 + b_1 q = 24$

$b_1(1 + q) = 24$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:

$\begin{cases} b_1 q = 16(1 - q) \\ b_1(1 + q) = 24 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b_1$:

$b_1 = \frac{24}{1 + q}$

Подставим это выражение для $b_1$ в первое уравнение:

$\frac{24}{1 + q} \cdot q = 16(1 - q)$

$24q = 16(1 - q)(1 + q)$

$24q = 16(1 - q^2)$

Разделим обе части уравнения на 8:

$3q = 2(1 - q^2)$

$3q = 2 - 2q^2$

$2q^2 + 3q - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$q_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Поскольку прогрессия является бесконечно убывающей, должно выполняться условие $|q| < 1$. Этому условию удовлетворяет только $q_1 = \frac{1}{2}$. Значение $q_2 = -2$ не подходит.

Итак, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя уравнение (2):

$b_1 = \frac{24}{1 + q} = \frac{24}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{24}{\frac{3}{2}} = 24 \cdot \frac{2}{3} = 16$

Итак, $b_1 = 16$ и $q = \frac{1}{2}$.

Нам нужно найти восьмой член этой прогрессии, $b_8$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 q^{n-1}$.

$b_8 = b_1 q^{8-1} = b_1 q^7$

$b_8 = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 2^4 \cdot \frac{1}{2^7} = \frac{2^4}{2^7} = 2^{4-7} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

17.16. В квадрат, длина стороны которого равна 8 см, вписан другой квадрат, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата. В полученный квадрат таким же способом вписан другой квадрат и т. д. Найдите значение суммы периметров и значение суммы площадей этих квадратов.

Для решения задачи сначала определим, как связаны размеры последующего вписанного квадрата с предыдущим.

Пусть сторона n-го квадрата равна $a_n$. Вершины $(n+1)$-го квадрата являются серединами сторон n-го квадрата. Если соединить эти вершины, то получится новый квадрат. При этом в углах n-го квадрата образуются четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половине стороны n-го квадрата, то есть $a_n/2$. Гипотенуза этих треугольников является стороной $(n+1)$-го квадрата, $a_{n+1}$.

По теореме Пифагора:

$a_{n+1}^2 = (\frac{a_n}{2})^2 + (\frac{a_n}{2})^2 = 2 \cdot \frac{a_n^2}{4} = \frac{a_n^2}{2}$

Отсюда находим соотношение между сторонами:

$a_{n+1} = \sqrt{\frac{a_n^2}{2}} = \frac{a_n}{\sqrt{2}}$

Это означает, что последовательность длин сторон квадратов $a_1, a_2, a_3, \dots$ образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Исходная сторона первого квадрата $a_1 = 8$ см.

Нахождение суммы периметров

Периметр n-го квадрата равен $P_n = 4a_n$.

Найдем периметр первого квадрата:

$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 8 = 32$ см.

Соотношение между периметрами соседних квадратов:

$P_{n+1} = 4a_{n+1} = 4 \frac{a_n}{\sqrt{2}} = \frac{4a_n}{\sqrt{2}} = \frac{P_n}{\sqrt{2}}$

Последовательность периметров $P_1, P_2, P_3, \dots$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Первый член этой прогрессии $b_1 = P_1 = 32$, а знаменатель $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $|q| < 1$.

Сумма периметров всех квадратов:

$S_P = \frac{32}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{32}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$:

$S_P = \frac{32\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{32\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{32(2+\sqrt{2})}{2-1} = 32(2+\sqrt{2}) = 64 + 32\sqrt{2}$ см.

Ответ: $64 + 32\sqrt{2}$ см.

Нахождение суммы площадей

Площадь n-го квадрата равна $S_n = a_n^2$.

Найдем площадь первого квадрата:

$S_1 = a_1^2 = 8^2 = 64$ см$^2$.

Соотношение между площадями соседних квадратов:

$S_{n+1} = a_{n+1}^2 = (\frac{a_n}{\sqrt{2}})^2 = \frac{a_n^2}{2} = \frac{S_n}{2}$

Последовательность площадей $S_1, S_2, S_3, \dots$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Первый член этой прогрессии $b'_1 = S_1 = 64$, а знаменатель $q' = \frac{1}{2}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Сумма площадей всех квадратов:

$S_A = \frac{64}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{64}{\frac{1}{2}} = 64 \cdot 2 = 128$ см$^2$.

Ответ: $128$ см$^2$.

17.17. В равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 8 см, вписан другой равносторонний треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. В полученный треугольник таким же способом вписан другой равносторонний треугольник и т. д. Найдите значение суммы периметров и значение суммы площадей этих треугольников.

В задаче рассматривается бесконечная последовательность вписанных друг в друга равносторонних треугольников. Пусть сторона первого треугольника $T_1$ равна $a_1$. Вершины второго треугольника $T_2$ являются серединами сторон $T_1$. Это означает, что сторона треугольника $T_2$ является средней линией треугольника $T_1$. Длина средней линии равна половине параллельной ей стороны, поэтому сторона $T_2$ равна $a_2 = a_1/2$. Аналогично, сторона третьего треугольника $T_3$ будет равна $a_3 = a_2/2 = a_1/4$, и так далее. Мы имеем дело с геометрическими прогрессиями для сторон, периметров и площадей.

Значение суммы периметров

Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $P=3a$.

Для первого треугольника $T_1$ сторона $a_1 = 8$ см, значит, его периметр $P_1 = 3 \cdot 8 = 24$ см.

Для второго треугольника $T_2$ сторона $a_2 = a_1/2 = 8/2 = 4$ см, а его периметр $P_2 = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Для третьего треугольника $T_3$ сторона $a_3 = a_2/2 = 4/2 = 2$ см, а его периметр $P_3 = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Последовательность периметров $24, 12, 6, \dots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член $b_1 = P_1 = 24$, а знаменатель $q = \frac{P_2}{P_1} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Найдем сумму периметров:

$S_P = \frac{24}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{24}{\frac{1}{2}} = 24 \cdot 2 = 48$ см.

Ответ: 48 см.

Значение суммы площадей

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Для первого треугольника $T_1$ со стороной $a_1 = 8$ см площадь равна $S_1 = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см².

Так как сторона каждого следующего треугольника в 2 раза меньше стороны предыдущего ($a_{n+1} = a_n/2$), то их площади соотносятся как $S_{n+1} = \frac{(a_{n+1})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(a_n/2)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a_n^2/4 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{1}{4} S_n$.

Последовательность площадей $16\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, \sqrt{3}, \dots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член $c_1 = S_1 = 16\sqrt{3}$, а знаменатель $r = \frac{1}{4}$.

Найдем сумму площадей по формуле $S = \frac{c_1}{1-r}$:

$S_A = \frac{16\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{16\sqrt{3}}{\frac{3}{4}} = 16\sqrt{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}$ см².

Ответ: $ \frac{64\sqrt{3}}{3} $ см².

17.18. Дан равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 16 см. Из его высот построен другой треугольник, а из высот этого треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры этих треугольников образуют бесконечную геометрическую прогрессию, и найдите значение суммы периметров этих треугольников.

Пусть $T_1, T_2, T_3, \dots, T_n, \dots$ - последовательность равносторонних треугольников, построенных согласно условию задачи.

Обозначим через $a_n$ длину стороны треугольника $T_n$, а через $P_n$ - его периметр.

По условию, сторона первого треугольника $a_1 = 16$ см.

Доказательство того, что периметры образуют геометрическую прогрессию

Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $P = 3a$.
Следовательно, периметр первого треугольника $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 16 = 48$ см.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ может быть найдена через теорему Пифагора или через тригонометрические функции. Углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$.
$h = a \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По условию, сторона следующего треугольника $a_{n+1}$ равна высоте предыдущего треугольника $h_n$.
Таким образом, $a_{n+1} = h_n = a_n \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это означает, что последовательность длин сторон треугольников $a_1, a_2, a_3, \dots$ образует геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим отношение периметров двух последовательных треугольников:
$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{3a_{n+1}}{3a_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Так как $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то и $\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это доказывает, что последовательность периметров $P_1, P_2, P_3, \dots$ также является геометрической прогрессией с тем же знаменателем $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку знаменатель прогрессии $|q| = |\frac{\sqrt{3}}{2}| \approx \frac{1.732}{2} = 0.866 < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Доказано, что последовательность периметров является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нахождение значения суммы периметров этих треугольников

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
$S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

В нашем случае, $b_1 = P_1 = 48$ см, а $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения в формулу:
$S = \frac{48}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{48}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{48 \cdot 2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{96}{2 - \sqrt{3}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:
$S = \frac{96(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{96(2 + \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{96(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = \frac{96(2 + \sqrt{3})}{1} = 96(2 + \sqrt{3})$.

Таким образом, сумма периметров всех треугольников равна $96(2 + \sqrt{3})$ см или $192 + 96\sqrt{3}$ см.

Ответ: $96(2 + \sqrt{3})$ см.