Страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

16.36. Между числами 5 и 25 вставьте еще семь членов так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.

По условию задачи, нам необходимо вставить семь чисел между 5 и 25 так, чтобы они вместе с исходными числами образовали арифметическую прогрессию. Это означает, что число 5 будет первым членом прогрессии, а число 25 — последним.

Общее количество членов в такой прогрессии будет равно $1$ (первый член) $+ 7$ (вставляемые члены) $+ 1$ (последний член) $= 9$ членов.

Пусть $(a_n)$ — наша арифметическая прогрессия. Тогда мы имеем:
Первый член прогрессии: $a_1 = 5$.
Девятый член прогрессии: $a_9 = 25$.
Общее число членов: $n = 9$.

Чтобы найти семь вставляемых членов, нам сначала нужно определить разность арифметической прогрессии $d$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим в формулу известные значения для девятого члена ($n=9$):
$a_9 = a_1 + (9-1)d$
$25 = 5 + 8d$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:
$8d = 25 - 5$
$8d = 20$
$d = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$

Зная разность прогрессии $d=2,5$, мы можем найти семь искомых членов, которые являются членами прогрессии со второго ($a_2$) по восьмой ($a_8$). Каждый следующий член получается прибавлением разности $d$ к предыдущему.
$a_2 = a_1 + d = 5 + 2,5 = 7,5$
$a_3 = a_2 + d = 7,5 + 2,5 = 10$
$a_4 = a_3 + d = 10 + 2,5 = 12,5$
$a_5 = a_4 + d = 12,5 + 2,5 = 15$
$a_6 = a_5 + d = 15 + 2,5 = 17,5$
$a_7 = a_6 + d = 17,5 + 2,5 = 20$
$a_8 = a_7 + d = 20 + 2,5 = 22,5$

Для проверки убедимся, что девятый член равен 25: $a_9 = a_8 + d = 22,5 + 2,5 = 25$. Это соответствует условию задачи.
Таким образом, семь членов, которые нужно вставить между 5 и 25, это: 7,5; 10; 12,5; 15; 17,5; 20; 22,5.

Ответ: 7,5; 10; 12,5; 15; 17,5; 20; 22,5.

16.37. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ составляют геометрическую прогрессию.

Выразите через $a_1, n \text{ и } q$ сумму:

1) $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2;$

2) $(a_1 + 1)^2 + (a_2 + 1)^2 + \dots + (a_n + 1)^2.$

1) Пусть дана геометрическая прогрессия $a_1, a_2, \dots, a_n$ с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$. Общий член прогрессии задается формулой $a_k = a_1 q^{k-1}$.
Требуется найти сумму $S_1 = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 = \sum_{k=1}^{n} a_k^2$.
Рассмотрим последовательность, состоящую из квадратов членов исходной прогрессии: $a_1^2, a_2^2, \dots, a_n^2$.
Общий член этой новой последовательности равен $a_k^2 = (a_1 q^{k-1})^2 = a_1^2 (q^2)^{k-1}$.
Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Обозначим ее члены как $b_k = a_k^2$.
Первый член этой новой прогрессии $b_1 = a_1^2$.
Знаменатель новой прогрессии $q'$ равен отношению любого ее члена (кроме первого) к предыдущему: $q' = \frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{a_{k+1}^2}{a_k^2} = \frac{(a_1 q^k)^2}{(a_1 q^{k-1})^2} = \frac{a_1^2 q^{2k}}{a_1^2 q^{2k-2}} = q^2$.
Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = b_1 \frac{(q')^n - 1}{q' - 1}$, при условии, что $q' \neq 1$.
Подставив наши значения $b_1 = a_1^2$ и $q' = q^2$, получаем искомую сумму:
$S_1 = a_1^2 \frac{(q^2)^n - 1}{q^2 - 1} = a_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1}$.
Эта формула верна при условии $q^2 \neq 1$, то есть $q \neq 1$ и $q \neq -1$. В случае $q^2=1$, все члены последовательности $b_k$ равны $a_1^2$, и их сумма равна $n a_1^2$.
Ответ: $a_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1}$ (при $q^2 \neq 1$).

2) Требуется найти сумму $S_2 = (a_1 + 1)^2 + (a_2 + 1)^2 + \dots + (a_n + 1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (a_k + 1)^2$.
Сначала раскроем квадрат каждого члена суммы: $(a_k + 1)^2 = a_k^2 + 2a_k + 1$.
Теперь сумму $S_2$ можно переписать в следующем виде:
$S_2 = \sum_{k=1}^{n} (a_k^2 + 2a_k + 1)$.
Используя свойство аддитивности суммы, мы можем разбить ее на три отдельные суммы:
$S_2 = \sum_{k=1}^{n} a_k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2a_k + \sum_{k=1}^{n} 1$.
Вычислим каждую из этих сумм:
1. Сумма $\sum_{k=1}^{n} a_k^2$ была найдена в пункте 1). Она равна $a_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1}$ (при $q^2 \neq 1$).
2. Сумма $\sum_{k=1}^{n} 2a_k = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k$. Выражение $\sum_{k=1}^{n} a_k$ является суммой исходной геометрической прогрессии, которая вычисляется по формуле $a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$ (при $q \neq 1$). Таким образом, $2 \sum_{k=1}^{n} a_k = 2a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.
3. Сумма $\sum_{k=1}^{n} 1$ представляет собой сумму $n$ единиц, то есть $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$.
Объединяя все три части, получаем выражение для $S_2$:
$S_2 = a_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1} + 2a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} + n$.
Эта формула справедлива, когда знаменатели в дробях не равны нулю, то есть при $q^2 \neq 1$ (что включает в себя и $q \neq 1$).
Ответ: $a_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1} + 2a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} + n$ (при $q^2 \neq 1$).

16.38. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $S_n$, если:

1) $b_1 = 1, q = 2, n = 11$;

2) $b_1 = 81, q = \frac{1}{3}, n = 5$.

1) Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
В данном случае нам даны: первый член прогрессии $b_1 = 1$, знаменатель прогрессии $q = 2$ и количество членов $n = 11$.
Подставим эти значения в формулу:
$S_{11} = \frac{1 \cdot (2^{11} - 1)}{2 - 1}$
Вычислим значение $2^{11}$:
$2^{10} = 1024$, следовательно, $2^{11} = 1024 \cdot 2 = 2048$.
Теперь вычислим сумму:
$S_{11} = \frac{2048 - 1}{1} = 2047$.
Ответ: $2047$

2) Для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии, когда знаменатель $q$ меньше 1, удобнее использовать эквивалентную формулу: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Нам даны: $b_1 = 81$, $q = \frac{1}{3}$ и $n = 5$.
Подставим значения в формулу:
$S_5 = \frac{81(1 - (\frac{1}{3})^5)}{1 - \frac{1}{3}}$
Вычислим значение $(\frac{1}{3})^5$:
$(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$.
Теперь подставим это значение в основное выражение и упростим его:
$S_5 = \frac{81(1 - \frac{1}{243})}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{81(\frac{243 - 1}{243})}{\frac{3 - 1}{3}} = \frac{81 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$
Упростим числитель дроби, зная, что $243 = 81 \cdot 3$:
$81 \cdot \frac{242}{243} = \frac{81 \cdot 242}{81 \cdot 3} = \frac{242}{3}$.
Теперь выполним деление:
$S_5 = \frac{\frac{242}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{242}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{242}{2} = 121$.
Ответ: $121$

16.39. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $q$, если:

1) $b_1 = 0,125$, $b_6 = -4;$

2) $b_1 = 81$, $b_6 = -\frac{1}{9}$.

Для нахождения знаменателя $q$ геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

1) Даны значения: $b_1 = 0,125$ и $b_6 = -4$.

Для $n=6$ формула n-го члена принимает вид:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$.

Из этой формулы выразим $q^5$ и подставим заданные значения. Для удобства вычислений представим $0,125$ в виде обыкновенной дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

$q^5 = \frac{b_6}{b_1} = \frac{-4}{1/8} = -4 \cdot 8 = -32$.

Теперь найдем $q$, извлекая корень пятой степени из обеих частей уравнения:

$q = \sqrt[5]{-32}$.

Так как $(-2)^5 = -32$, то значение знаменателя равно -2.

Ответ: $q = -2$.

2) Даны значения: $b_1 = 81$ и $b_6 = -\frac{1}{9}$.

Аналогично первому пункту, воспользуемся формулой $b_6 = b_1 \cdot q^5$.

Выразим $q^5$ и подставим числовые значения:

$q^5 = \frac{b_6}{b_1} = \frac{-1/9}{81} = -\frac{1}{9 \cdot 81} = -\frac{1}{729}$.

Далее найдем $q$, извлекая корень пятой степени:

$q = \sqrt[5]{-\frac{1}{729}}$.

Поскольку степень корня (5) нечетная, знак "минус" можно вынести за знак корня:

$q = -\sqrt[5]{\frac{1}{729}} = -\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{729}} = -\frac{1}{\sqrt[5]{729}}$.

Можно упростить это выражение. Для этого представим число $729$ в виде степени числа $3$. Так как $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$, получаем:

$q = -\frac{1}{\sqrt[5]{3^6}} = -\frac{1}{\sqrt[5]{3^5 \cdot 3^1}} = -\frac{1}{\sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[5]{3}}$.

Ответ: $q = -\frac{1}{3\sqrt[5]{3}}$.