Страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Какой формулой для нахождения значения суммы $n$ членов геометрической прогрессии удобно пользоваться при:

1) $q < 1$;

2) $q > 1$;

3) $q = 1$?

Существуют две основные, эквивалентные друг другу, формулы для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$, при условии что $q \neq 1$:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Выбор между этими формулами зависит от значения знаменателя $q$ и делается для удобства вычислений, чтобы по возможности избежать отрицательных чисел в знаменателе дроби.

1) q < 1

При $q < 1$ (включая случай, когда $|q| < 1$), знаменатель $1 - q$ будет положительным числом ($1 - q > 0$). Использование второй формулы является более удобным, так как позволяет работать с положительным знаменателем, что упрощает расчеты и уменьшает вероятность ошибки.

Ответ: Удобнее использовать формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

2) q > 1

При $q > 1$, знаменатель $q - 1$ будет положительным числом ($q - 1 > 0$). В этом случае удобнее использовать первую формулу, так как и числитель (при $b_1 > 0$), и знаменатель дроби будут положительными, что также делает вычисления проще.

Ответ: Удобнее использовать формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

3) q = 1

При $q = 1$ обе вышеуказанные формулы неприменимы, так как их знаменатель обращается в ноль ($q - 1 = 0$ и $1 - q = 0$), что приводит к делению на ноль. В этом случае геометрическая прогрессия представляет собой последовательность одинаковых членов, каждый из которых равен первому члену $b_1$. Последовательность выглядит так: $b_1, b_1, b_1, \dots, b_1$. Сумма первых $n$ членов такой последовательности — это просто первый член, умноженный на количество членов $n$.

Ответ: Используется формула $S_n = n \cdot b_1$.

16.1. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $n$ и $S_n$, если:

1) $b_1 = 0.5, b_n = 256, q = 2;$

2) $b_1 = 80, b_n = 5, q = 0.5;$

3) $b_1 = 3, b_n = 243, q = 3;$

4) $b_1 = 1.5, b_n = 240, q = 2.$

1) Для нахождения номера последнего члена $n$ воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим известные значения: $b_1 = 0,5$, $b_n = 256$, $q = 2$.
$256 = 0,5 \cdot 2^{n-1}$
Разделим обе части уравнения на 0,5 (что равносильно умножению на 2):
$512 = 2^{n-1}$
Поскольку $512 = 2^9$, мы можем записать:
$2^9 = 2^{n-1}$
Отсюда следует, что $n-1 = 9$, и, следовательно, $n = 10$.
Теперь найдем сумму первых $n$ членов прогрессии, $S_n$, используя формулу $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.
$S_{10} = \frac{256 \cdot 2 - 0,5}{2-1} = \frac{512 - 0,5}{1} = 511,5$.
Ответ: $n = 10$, $S_{10} = 511,5$.

2) Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ с заданными значениями: $b_1 = 80$, $b_n = 5$, $q = 0,5$.
$5 = 80 \cdot (0,5)^{n-1}$
Разделим обе части на 80:
$\frac{5}{80} = (0,5)^{n-1}$
$\frac{1}{16} = (0,5)^{n-1}$
Так как $0,5 = \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$, получаем:
$(\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^{n-1}$
Отсюда $n-1 = 4$, а значит $n = 5$.
Для нахождения суммы $S_n$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.
$S_5 = \frac{5 \cdot 0,5 - 80}{0,5 - 1} = \frac{2,5 - 80}{-0,5} = \frac{-77,5}{-0,5} = 155$.
Ответ: $n = 5$, $S_5 = 155$.

3) По формуле n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ с данными $b_1 = 3$, $b_n = 243$, $q = 3$ имеем:
$243 = 3 \cdot 3^{n-1}$
$243 = 3^{1+n-1}$
$243 = 3^n$
Поскольку $243 = 3^5$, получаем $3^5 = 3^n$, откуда $n=5$.
Сумму $S_n$ найдем по формуле $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.
$S_5 = \frac{243 \cdot 3 - 3}{3-1} = \frac{729 - 3}{2} = \frac{726}{2} = 363$.
Ответ: $n = 5$, $S_5 = 363$.

4) Для нахождения $n$ используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ с известными значениями: $b_1 = 1,5$, $b_n = 240$, $q = 2$.
$240 = 1,5 \cdot 2^{n-1}$
Выразим $2^{n-1}$:
$2^{n-1} = \frac{240}{1,5} = 160$
Число 160 не является целой степенью числа 2 (например, $2^7 = 128$, а $2^8 = 256$). Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, не существует такого натурального $n$, которое удовлетворяло бы уравнению $2^{n-1} = 160$. Следовательно, в условии задачи, по всей видимости, содержится ошибка, и найти $n$ и $S_n$ для заданных параметров невозможно.
Ответ: Задачу решить невозможно, так как для заданных значений не существует натурального числа $n$.

16.2. В геометрической прогрессии $ (b_n) $ найдите $ q $ и $ S_n $, если:

1) $b_1 = 90, b_n = 3\frac{1}{3}, n = 4;$

2) $b_1 = \frac{1}{3}, b_n = 81, n = 6;$

3) $b_1 = 120, b_n = 3,75, n = 6;$

4) $b_1 = 0,02, b_n = 312,5, n = 7.$

1) Дано: $b_1 = 90$, $b_n = 3\frac{1}{3}$, $n = 4$.

Здесь $b_4 = 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим известные значения, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$\frac{10}{3} = 90 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{10}{3 \cdot 90} = \frac{10}{270} = \frac{1}{27}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем сумму первых $n$ членов прогрессии $S_n$. Формула для суммы, когда известны первый и n-й члены: $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$.
Подставим наши значения для $n=4$:
$S_4 = \frac{b_4 q - b_1}{q - 1} = \frac{\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{3} - 90}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{\frac{10}{9} - 90}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{10 - 810}{9}}{-\frac{2}{3}} = \frac{-\frac{800}{9}}{-\frac{2}{3}} = \frac{800}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{400}{3} = 133\frac{1}{3}$.
Ответ: $q = \frac{1}{3}$, $S_4 = 133\frac{1}{3}$.

2) Дано: $b_1 = \frac{1}{3}$, $b_n = 81$, $n = 6$.

Здесь $b_6 = 81$.
Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для нахождения $q$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$
$81 = \frac{1}{3} \cdot q^5$
$q^5 = 81 \cdot 3 = 243$
Поскольку $243 = 3^5$, то $q=3$.

Найдем сумму $S_6$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_6 = \frac{b_6 q - b_1}{q - 1} = \frac{81 \cdot 3 - \frac{1}{3}}{3 - 1} = \frac{243 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{729 - 1}{3}}{2} = \frac{728}{3 \cdot 2} = \frac{364}{3} = 121\frac{1}{3}$.
Ответ: $q = 3$, $S_6 = 121\frac{1}{3}$.

3) Дано: $b_1 = 120$, $b_n = 3,75$, $n = 6$.

Здесь $b_6 = 3,75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4}$.
Найдем $q$ из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$
$\frac{15}{4} = 120 \cdot q^5$
$q^5 = \frac{15}{4 \cdot 120} = \frac{1}{4 \cdot 8} = \frac{1}{32}$
Поскольку $32 = 2^5$, то $q = \frac{1}{2} = 0,5$.

Найдем сумму $S_6$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_6 = \frac{3,75 \cdot 0,5 - 120}{0,5 - 1} = \frac{1,875 - 120}{-0,5} = \frac{-118,125}{-0,5} = 236,25$.
Ответ: $q = 0,5$, $S_6 = 236,25$.

4) Дано: $b_1 = 0,02$, $b_n = 312,5$, $n = 7$.

Здесь $b_7 = 312,5$.
Найдем $q$ из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1}$
$312,5 = 0,02 \cdot q^6$
$q^6 = \frac{312,5}{0,02} = \frac{31250}{2} = 15625$
Поскольку $15625 = 125^2 = (5^3)^2 = 5^6$, то $q=5$.

Найдем сумму $S_7$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{312,5 \cdot 5 - 0,02}{5 - 1} = \frac{1562,5 - 0,02}{4} = \frac{1562,48}{4} = 390,62$.
Ответ: $q = 5$, $S_7 = 390,62$.

16.3. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $q$ и $n$, если:

1) $b_1 = 2$, $b_n = 1024$, $S_n = 2046$;

2) $b_1 = 512$, $b_n = 1$, $S_n = 1023$;

3) $b_1 = 0.5$, $b_n = 16$, $S_n = 31.5$;

4) $b_1 = \frac{2}{9}$, $b_n = 18$, $S_n = 26\frac{8}{9}$.

1) Дано: $b_1 = 2$, $b_n = 1024$, $S_n = 2046$.

Для нахождения знаменателя прогрессии $q$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$.

Подставим известные значения в формулу:

$2046 = \frac{1024q - 2}{q - 1}$

Решим полученное уравнение относительно $q$:

$2046(q - 1) = 1024q - 2$

$2046q - 2046 = 1024q - 2$

$2046q - 1024q = 2046 - 2$

$1022q = 2044$

$q = \frac{2044}{1022} = 2$

Теперь найдем число членов прогрессии $n$, используя формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения $b_1$, $b_n$ и найденное значение $q$:

$1024 = 2 \cdot 2^{n-1}$

$1024 = 2^{1 + n-1}$

$1024 = 2^n$

Так как $1024 = 2^{10}$, получаем:

$2^{10} = 2^n$

$n = 10$

Ответ: $q=2$, $n=10$.

2) Дано: $b_1 = 512$, $b_n = 1$, $S_n = 1023$.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$ для нахождения $q$.

Подставляем значения:

$1023 = \frac{1 \cdot q - 512}{q - 1}$

$1023(q - 1) = q - 512$

$1023q - 1023 = q - 512$

$1023q - q = 1023 - 512$

$1022q = 511$

$q = \frac{511}{1022} = \frac{1}{2}$

Далее найдем $n$ по формуле n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставляем значения:

$1 = 512 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

$\frac{1}{512} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Так как $512 = 2^9$, то $\frac{1}{512} = \frac{1}{2^9} = (\frac{1}{2})^9$.

$(\frac{1}{2})^9 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Отсюда следует, что $9 = n - 1$.

$n = 10$

Ответ: $q=\frac{1}{2}$, $n=10$.

3) Дано: $b_1 = 0,5$, $b_n = 16$, $S_n = 31,5$.

Снова используем формулу $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$ для нахождения $q$.

Подставляем значения:

$31,5 = \frac{16q - 0,5}{q - 1}$

$31,5(q - 1) = 16q - 0,5$

$31,5q - 31,5 = 16q - 0,5$

$31,5q - 16q = 31,5 - 0,5$

$15,5q = 31$

$q = \frac{31}{15,5} = 2$

Теперь находим $n$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставляем значения:

$16 = 0,5 \cdot 2^{n-1}$

$16 = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1}$

$32 = 2^{n-1}$

Так как $32 = 2^5$, получаем:

$2^5 = 2^{n-1}$

$5 = n - 1$

$n = 6$

Ответ: $q=2$, $n=6$.

4) Дано: $b_1 = \frac{2}{9}$, $b_n = 18$, $S_n = 26\frac{8}{9}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$S_n = 26\frac{8}{9} = \frac{26 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{234 + 8}{9} = \frac{242}{9}$

Находим $q$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$.

Подставляем значения:

$\frac{242}{9} = \frac{18q - \frac{2}{9}}{q - 1}$

Умножим обе части уравнения на $9(q-1)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$242(q - 1) = 9(18q - \frac{2}{9})$

$242q - 242 = 162q - 2$

$242q - 162q = 242 - 2$

$80q = 240$

$q = \frac{240}{80} = 3$

Наконец, находим $n$ по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставляем значения:

$18 = \frac{2}{9} \cdot 3^{n-1}$

Умножим обе части на $\frac{9}{2}$:

$18 \cdot \frac{9}{2} = 3^{n-1}$

$9 \cdot 9 = 3^{n-1}$

$81 = 3^{n-1}$

Так как $81 = 3^4$, получаем:

$3^4 = 3^{n-1}$

$4 = n - 1$

$n = 5$

Ответ: $q=3$, $n=5$.

16.4. В геометрической прогрессии $(b_n)$ найдите $b_n$ и $S_n$, если:

1) $b_1 = 243, q = -\frac{2}{3}, n = 6;$

2) $b_1 = -\frac{3}{2}, q = 2, n = 7;$

3) $b_1 = 20, q = -0.1, n = 5;$

4) $b_1 = \frac{3}{5}, q = -\sqrt{5}, n = 5.$

Для решения задачи используются формулы n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

1) Дано: $b_1 = 243$, $q = -\frac{2}{3}$, $n = 6$.

Найдем n-й член прогрессии $b_6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{n-1} = 243 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{6-1} = 243 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^5 = 243 \cdot \left(-\frac{2^5}{3^5}\right) = 243 \cdot \left(-\frac{32}{243}\right) = -32$.

Найдем сумму первых n членов прогрессии $S_6$:

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{243\left(\left(-\frac{2}{3}\right)^6 - 1\right)}{-\frac{2}{3} - 1} = \frac{243\left(\frac{64}{729} - 1\right)}{-\frac{5}{3}} = \frac{243\left(\frac{64 - 729}{729}\right)}{-\frac{5}{3}} = \frac{243\left(-\frac{665}{729}\right)}{-\frac{5}{3}}$.

Упростим выражение: $\frac{243}{729} = \frac{1}{3}$.

$S_6 = \frac{\frac{1}{3} \cdot (-665)}{-\frac{5}{3}} = \frac{-665}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{665}{5} = 133$.

Ответ: $b_6 = -32$; $S_6 = 133$.

2) Дано: $b_1 = -\frac{3}{2}$, $q = 2$, $n = 7$.

Найдем n-й член прогрессии $b_7$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{n-1} = -\frac{3}{2} \cdot 2^{7-1} = -\frac{3}{2} \cdot 2^6 = -\frac{3}{2} \cdot 64 = -3 \cdot 32 = -96$.

Найдем сумму первых n членов прогрессии $S_7$:

$S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1} = \frac{-\frac{3}{2}(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{-\frac{3}{2}(128 - 1)}{1} = -\frac{3}{2} \cdot 127 = -\frac{381}{2} = -190,5$.

Ответ: $b_7 = -96$; $S_7 = -190,5$.

3) Дано: $b_1 = 20$, $q = -0,1$, $n = 5$.

Найдем n-й член прогрессии $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{n-1} = 20 \cdot (-0,1)^{5-1} = 20 \cdot (-0,1)^4 = 20 \cdot 0,0001 = 0,002$.

Найдем сумму первых n членов прогрессии $S_5$:

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{20((-0,1)^5 - 1)}{-0,1 - 1} = \frac{20(-0,00001 - 1)}{-1,1} = \frac{20(-1,00001)}{-1,1} = \frac{-20,0002}{-1,1} = 18,182$.

Ответ: $b_5 = 0,002$; $S_5 = 18,182$.

4) Дано: $b_1 = \frac{3}{5}$, $q = -\sqrt{5}$, $n = 5$.

Найдем n-й член прогрессии $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{3}{5} \cdot (-\sqrt{5})^{5-1} = \frac{3}{5} \cdot (-\sqrt{5})^4 = \frac{3}{5} \cdot ((\sqrt{5})^2)^2 = \frac{3}{5} \cdot 5^2 = \frac{3}{5} \cdot 25 = 15$.

Найдем сумму первых n членов прогрессии $S_5$:

$q^5 = (-\sqrt{5})^5 = -(\sqrt{5})^5 = -(\sqrt{5^2})^2\sqrt{5} = -25\sqrt{5}$.

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{3}{5}(-25\sqrt{5} - 1)}{-\sqrt{5} - 1} = \frac{\frac{3}{5}(-(25\sqrt{5} + 1))}{-( \sqrt{5} + 1)} = \frac{\frac{3}{5}(25\sqrt{5} + 1)}{\sqrt{5} + 1}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} - 1)$:

$S_5 = \frac{\frac{3}{5}(25\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\frac{3}{5}(25\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 25\sqrt{5} + \sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{\frac{3}{5}(125 - 24\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{\frac{3}{5}(124 - 24\sqrt{5})}{4}$.

$S_5 = \frac{3(124 - 24\sqrt{5})}{5 \cdot 4} = \frac{3 \cdot 4(31 - 6\sqrt{5})}{20} = \frac{3(31 - 6\sqrt{5})}{5} = \frac{93 - 18\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $b_5 = 15$; $S_5 = \frac{93 - 18\sqrt{5}}{5}$.

16.5. В геометрической прогрессии $(b_n)$ найдите $n$ и $b_n$, если:

1) $b_1 = 3, q = 2, S_n = 93;$

2) $b_1 = 6, q = -2, S_n = -510;$

3) $b_1 = \frac{3}{5}, q = -0,5, S_n = \frac{3}{8};$

4) $b_1 = -13, q = -0,3, S_n = -10,27.$

1) Для нахождения $n$ используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения: $b_1 = 3$, $q = 2$, $S_n = 93$.
$93 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$
$93 = \frac{3(2^n - 1)}{1}$
$93 = 3(2^n - 1)$
Разделим обе части на 3:
$31 = 2^n - 1$
$32 = 2^n$
Так как $2^5 = 32$, то $n = 5$.
Теперь найдем $b_n$, то есть $b_5$, используя формулу $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$.
Ответ: $n = 5$, $b_5 = 48$.

2) Используем ту же формулу для суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения: $b_1 = 6$, $q = -2$, $S_n = -510$.
$-510 = \frac{6((-2)^n - 1)}{-2 - 1}$
$-510 = \frac{6((-2)^n - 1)}{-3}$
$-510 = -2((-2)^n - 1)$
Разделим обе части на -2:
$255 = (-2)^n - 1$
$256 = (-2)^n$
Так как $2^8 = 256$, и основание степени $(-2)$ отрицательное, а результат положительный, то $n$ должно быть четным. Следовательно, $n = 8$.
Теперь найдем $b_n$, то есть $b_8$, по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_8 = 6 \cdot (-2)^{8-1} = 6 \cdot (-2)^7 = 6 \cdot (-128) = -768$.
Ответ: $n = 8$, $b_8 = -768$.

3) Используем формулу для суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения: $b_1 = \frac{3}{5}$, $q = -0,5 = -\frac{1}{2}$, $S_n = \frac{3}{8}$.
$\frac{3}{8} = \frac{\frac{3}{5}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{1}{2} - 1}$
$\frac{3}{8} = \frac{\frac{3}{5}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{3}{2}}$
$\frac{3}{8} = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot ((-\frac{1}{2})^n - 1)$
$\frac{3}{8} = -\frac{2}{5} \cdot ((-\frac{1}{2})^n - 1)$
Умножим обе части на $-\frac{5}{2}$:
$\frac{3}{8} \cdot (-\frac{5}{2}) = (-\frac{1}{2})^n - 1$
$-\frac{15}{16} = (-\frac{1}{2})^n - 1$
$1 - \frac{15}{16} = (-\frac{1}{2})^n$
$\frac{1}{16} = (-\frac{1}{2})^n$
Так как $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$, и результат положителен, $n$ должно быть четным. Следовательно, $n = 4$.
Теперь найдем $b_n$, то есть $b_4$, по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_4 = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{1}{2})^{4-1} = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{1}{8}) = -\frac{3}{40}$.
Ответ: $n = 4$, $b_4 = -\frac{3}{40}$.

4) Используем формулу для суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения: $b_1 = -13$, $q = -0,3$, $S_n = -10,27$.
$-10,27 = \frac{-13((-0,3)^n - 1)}{-0,3 - 1}$
$-10,27 = \frac{-13((-0,3)^n - 1)}{-1,3}$
$-10,27 = 10 \cdot ((-0,3)^n - 1)$
Разделим обе части на 10:
$-1,027 = (-0,3)^n - 1$
$1 - 1,027 = (-0,3)^n$
$-0,027 = (-0,3)^n$
Так как $(-0,3)^3 = -0,027$, то $n = 3$.
Теперь найдем $b_n$, то есть $b_3$, по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_3 = -13 \cdot (-0,3)^{3-1} = -13 \cdot (-0,3)^2 = -13 \cdot 0,09 = -1,17$.
Ответ: $n = 3$, $b_3 = -1,17$.