Страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

15.21. 1) Вкладчик положил в банк на депозит 100 тыс. тг под 10% годовых. Какая сумма будет находиться на депозите через два года?

2) Вкладчик положил в банк на депозит 200 тыс. тг под 8% годовых. Какая сумма будет находиться на депозите через три года?

1) Для расчета суммы на депозите через определенный срок с годовым начислением процентов используется формула сложных процентов:
$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$
где:
$S_n$ — итоговая сумма на депозите,
$S_0$ — начальная сумма вклада,
$p$ — годовая процентная ставка,
$n$ — количество лет.

Подставим данные из условия задачи:
$S_0 = 100 \ 000$ тг
$p = 10\%$
$n = 2$ года

Произведем расчет:
$S_2 = 100 \ 000 \cdot (1 + \frac{10}{100})^2 = 100 \ 000 \cdot (1 + 0.1)^2 = 100 \ 000 \cdot (1.1)^2$
$S_2 = 100 \ 000 \cdot 1.21 = 121 \ 000$ тг

Ответ: через два года на депозите будет находиться 121 000 тг.

2) Используем ту же формулу сложных процентов:
$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

Подставим данные из условия второй задачи:
$S_0 = 200 \ 000$ тг
$p = 8\%$
$n = 3$ года

Произведем расчет:
$S_3 = 200 \ 000 \cdot (1 + \frac{8}{100})^3 = 200 \ 000 \cdot (1 + 0.08)^3 = 200 \ 000 \cdot (1.08)^3$
$S_3 = 200 \ 000 \cdot 1.259712 = 251 \ 942.4$ тг

Ответ: через три года на депозите будет находиться 251 942,4 тг.

15.22. 1) Вкладчик решил положить в банк на депозит 50 000 тг. Известно, что в одном банке вклад возрастает один раз в год на 12%, а в другом он возрастает ежемесячно на 1% от накопленной на депозите суммы. В каком из банков доход будет больше и на сколько тенге больше?

2) Клиент открыл в банке депозит под 10% годовых сроком на три года и положил 200 000 тг. Какая сумма будет на депозите через три года?

1)

Для того чтобы определить, в каком банке доход будет больше, необходимо рассчитать итоговую сумму вклада через один год для каждого из предложенных вариантов.

Вариант 1: Первый банк

В этом банке вклад увеличивается один раз в год на 12%. Расчет производится по формуле простых процентов (для одного периода начисления).

Итоговая сумма $S_1$ вычисляется как:

$S_1 = P \cdot (1 + r)$

где $P = 50\;000$ тг (первоначальный вклад), а $r = 12\% = 0,12$ (годовая ставка).

$S_1 = 50\;000 \cdot (1 + 0,12) = 50\;000 \cdot 1,12 = 56\;000$ тг.

Доход $D_1$ в первом банке составит:

$D_1 = S_1 - P = 56\;000 - 50\;000 = 6\;000$ тг.

Вариант 2: Второй банк

В этом банке вклад увеличивается ежемесячно на 1% от накопленной суммы. Это является примером начисления сложных процентов.

Итоговая сумма $S_2$ вычисляется по формуле сложных процентов:

$S_2 = P \cdot (1 + r_m)^n$

где $P = 50\;000$ тг, $r_m = 1\% = 0,01$ (месячная ставка), а $n=12$ (количество месяцев в году).

$S_2 = 50\;000 \cdot (1 + 0,01)^{12} = 50\;000 \cdot (1,01)^{12}$

Вычислим значение $(1,01)^{12}$: $(1,01)^{12} \approx 1,126825$.

Теперь найдем итоговую сумму:

$S_2 \approx 50\;000 \cdot 1,126825 = 56\;341,25$ тг.

Доход $D_2$ во втором банке составит:

$D_2 = S_2 - P = 56\;341,25 - 50\;000 = 6\;341,25$ тг.

Сравнение доходов

Сравним доходы от двух банков:

$D_1 = 6\;000$ тг.

$D_2 = 6\;341,25$ тг.

Доход во втором банке больше. Найдем, на сколько он больше:

$\Delta D = D_2 - D_1 = 6\;341,25 - 6\;000 = 341,25$ тг.

Ответ: доход будет больше во втором банке на 341,25 тг.

2)

Для расчета итоговой суммы на депозите через три года используется формула сложных процентов, так как проценты начисляются ежегодно на всю накопленную сумму.

Формула для расчета итоговой суммы $S$ выглядит так:

$S = P \cdot (1 + r)^t$

где:

$P = 200\;000$ тг — первоначальная сумма вклада,

$r = 10\% = 0,1$ — годовая процентная ставка,

$t = 3$ года — срок вклада.

Подставим данные в формулу:

$S = 200\;000 \cdot (1 + 0,1)^3 = 200\;000 \cdot (1,1)^3$

Рассчитаем $(1,1)^3$:

$(1,1)^3 = 1,1 \cdot 1,1 \cdot 1,1 = 1,21 \cdot 1,1 = 1,331$

Теперь вычислим итоговую сумму на депозите:

$S = 200\;000 \cdot 1,331 = 266\;200$ тг.

Ответ: через три года на депозите будет 266 200 тг.

15.23. Четыре числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что значение суммы крайних членов равно 84, а значение произведения средних членов равно 243.

Пусть четыре числа, составляющие возрастающую геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2, b_3, b_4$. Знаменатель прогрессии обозначим как $q$. Члены прогрессии можно выразить через первый член $b_1$ и знаменатель $q$ как $b_1, b_1q, b_1q^2, b_1q^3$.

Согласно условию, сумма крайних членов (первого и четвертого) равна 84, а произведение средних членов (второго и третьего) равно 243. Это можно записать в виде системы уравнений:

$b_1 + b_4 = 84$
$b_2 \cdot b_3 = 243$

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии, согласно которому произведение членов, равноудаленных от концов, постоянно. Для нашей прогрессии из четырех членов это означает, что $b_1 \cdot b_4 = b_2 \cdot b_3$. Таким образом, произведение крайних членов также равно 243: $b_1 \cdot b_4 = 243$.

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения крайних членов $b_1$ и $b_4$:
$b_1 + b_4 = 84$
$b_1 \cdot b_4 = 243$

По обратной теореме Виета, числа $b_1$ и $b_4$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (b_1 + b_4)x + (b_1 \cdot b_4) = 0$. Подставив известные значения суммы и произведения, получаем:

$x^2 - 84x + 243 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D$:
$D = (-84)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243 = 7056 - 972 = 6084$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{6084} = 78$.
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{84 - 78}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{84 + 78}{2} = \frac{162}{2} = 81$

Следовательно, крайние члены прогрессии равны 3 и 81. Так как по условию прогрессия является возрастающей, то первый член должен быть меньше последнего, то есть $b_1 < b_4$. Значит, $b_1 = 3$ и $b_4 = 81$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу n-го члена $b_4 = b_1q^{4-1} = b_1q^3$:
$81 = 3 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{81}{3} = 27$
$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Поскольку $b_1 = 3 > 0$ и $q = 3 > 1$, прогрессия действительно является возрастающей. Теперь мы можем найти все четыре числа:
$b_1 = 3$
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot 3 = 9$
$b_3 = b_2 \cdot q = 9 \cdot 3 = 27$
$b_4 = b_3 \cdot q = 27 \cdot 3 = 81$

Проверим, удовлетворяют ли найденные числа исходным условиям:
1. Сумма крайних членов: $3 + 81 = 84$. (Верно)
2. Произведение средних членов: $9 \cdot 27 = 243$. (Верно)
3. Ряд чисел 3, 9, 27, 81 является возрастающей геометрической прогрессией. (Верно)

Ответ: 3, 9, 27, 81.

15.24. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $b_k$, если:

1) $b_{k-m} = 13$ и $b_{k+m} = 107;

2) $b_{k-m} = 1,2$ и $b_{k+m} = 19,2.$

Для решения этой задачи воспользуемся свойством геометрической прогрессии: любой член прогрессии является средним геометрическим для двух членов, равноудаленных от него по номерам. В нашем случае член $b_k$ равноудален от членов $b_{k-m}$ и $b_{k+m}$, поскольку их индексы $k-m$, $k$, $k+m$ образуют арифметическую прогрессию.

Свойство среднего геометрического записывается формулой: $b_k^2 = b_{k-m} \cdot b_{k+m}$.

Докажем эту формулу. Пусть $q$ — знаменатель геометрической прогрессии. По определению n-го члена прогрессии, мы можем выразить $b_{k-m}$ и $b_{k+m}$ через $b_k$:

$b_{k-m} = b_k \cdot q^{-m}$

$b_{k+m} = b_k \cdot q^{m}$

Перемножим эти два равенства:

$b_{k-m} \cdot b_{k+m} = (b_k \cdot q^{-m}) \cdot (b_k \cdot q^{m}) = b_k^2 \cdot q^{-m+m} = b_k^2 \cdot q^0 = b_k^2$.

Отсюда следует, что $b_k = \pm \sqrt{b_{k-m} \cdot b_{k+m}}$. Так как в условии задачи не дано дополнительных сведений о знаках членов прогрессии (например, что все они положительны), мы должны учесть оба возможных знака для $b_k$.

1) Даны значения $b_{k-m} = 13$ и $b_{k+m} = 107$.

Используем формулу $b_k^2 = b_{k-m} \cdot b_{k+m}$:

$b_k^2 = 13 \cdot 107 = 1391$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$b_k = \pm \sqrt{1391}$.

Числа 13 и 107 — простые, поэтому корень $\sqrt{1391}$ не упрощается.

Ответ: $b_k = \pm \sqrt{1391}$.

2) Даны значения $b_{k-m} = 1.2$ и $b_{k+m} = 19.2$.

Используем ту же формулу $b_k^2 = b_{k-m} \cdot b_{k+m}$:

$b_k^2 = 1.2 \cdot 19.2 = 23.04$.

Извлекаем квадратный корень:

$b_k = \pm \sqrt{23.04} = \pm 4.8$.

Ответ: $b_k = \pm 4.8$.

15.25. 1) Найдите три положительных числа, составляющих геометрическую прогрессию, если значение их суммы равно 42, а значение суммы обратных им чисел равно $\frac{21}{32}$.

2) Найдите три положительных числа, образующих геометрическую прогрессию, если значение их суммы равно 21, а значение суммы обратных им чисел равно $\frac{21}{16}$.

1)

Пусть три искомых положительных числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$. Тогда эти числа можно записать как $b_1$, $b_1q$, $b_1q^2$. Поскольку числа положительные, $b_1 > 0$ и $q > 0$.

По условию задачи, сумма этих чисел равна 42:

$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 42$

$b_1(1 + q + q^2) = 42$

Также, по условию, сумма обратных им чисел равна $\frac{21}{32}$:

$\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1q} + \frac{1}{b_1q^2} = \frac{21}{32}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $b_1q^2$:

$\frac{q^2 + q + 1}{b_1q^2} = \frac{21}{32}$

Теперь у нас есть два уравнения. Из первого уравнения выразим $1 + q + q^2 = \frac{42}{b_1}$ и подставим это во второе уравнение:

$\frac{42/b_1}{b_1q^2} = \frac{21}{32}$

$\frac{42}{b_1^2q^2} = \frac{21}{32}$

Решим это уравнение. Выразим $(b_1q)^2$:

$(b_1q)^2 = \frac{42 \cdot 32}{21} = 2 \cdot 32 = 64$

Поскольку $b_1 > 0$ и $q > 0$, то $b_1q$ должно быть положительным. Следовательно:

$b_1q = \sqrt{64} = 8$

Мы нашли второй член прогрессии, $b_2 = 8$. Теперь выразим $b_1 = \frac{8}{q}$ и подставим в первое уравнение:

$\frac{8}{q}(1 + q + q^2) = 42$

$8(1 + q + q^2) = 42q$

Разделим обе части на 2:

$4(1 + q + q^2) = 21q$

$4 + 4q + 4q^2 = 21q$

$4q^2 - 17q + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$.

Корни уравнения: $q = \frac{-(-17) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm 15}{8}$.

$q_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$q_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем сами числа для каждого значения $q$.

Случай 1: Если $q=4$, то $b_1 = \frac{8}{q} = \frac{8}{4} = 2$. Числа прогрессии: 2, $2 \cdot 4=8$, $8 \cdot 4=32$. То есть 2, 8, 32.

Случай 2: Если $q=\frac{1}{4}$, то $b_1 = \frac{8}{q} = \frac{8}{1/4} = 32$. Числа прогрессии: 32, $32 \cdot \frac{1}{4}=8$, $8 \cdot \frac{1}{4}=2$. То есть 32, 8, 2.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор из трех чисел.

Ответ: 2, 8, 32.

2)

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Пусть искомые положительные числа это $b_1$, $b_1q$ и $b_1q^2$, где $b_1 > 0$ и $q > 0$.

Сумма чисел равна 21:

$b_1(1 + q + q^2) = 21$

Сумма обратных им чисел равна $\frac{21}{16}$:

$\frac{1 + q + q^2}{b_1q^2} = \frac{21}{16}$

Из первого уравнения выразим $1 + q + q^2 = \frac{21}{b_1}$ и подставим во второе:

$\frac{21/b_1}{b_1q^2} = \frac{21}{16}$

$\frac{21}{b_1^2q^2} = \frac{21}{16}$

Разделив обе части на 21, получаем:

$(b_1q)^2 = 16$

Так как $b_1 > 0$ и $q > 0$, извлекаем положительный корень:

$b_1q = \sqrt{16} = 4$

Второй член прогрессии $b_2=4$. Выразим $b_1 = \frac{4}{q}$ и подставим в первое уравнение:

$\frac{4}{q}(1 + q + q^2) = 21$

$4(1 + q + q^2) = 21q$

$4 + 4q + 4q^2 = 21q$

$4q^2 - 17q + 4 = 0$

Мы получили точно такое же квадратное уравнение, как и в первой задаче. Его корни $q_1 = 4$ и $q_2 = \frac{1}{4}$.

Найдем члены прогрессии для каждого случая.

Случай 1: Если $q=4$, то $b_1 = \frac{4}{q} = \frac{4}{4} = 1$. Числа прогрессии: 1, $1 \cdot 4=4$, $4 \cdot 4=16$. То есть 1, 4, 16.

Случай 2: Если $q=\frac{1}{4}$, то $b_1 = \frac{4}{q} = \frac{4}{1/4} = 16$. Числа прогрессии: 16, $16 \cdot \frac{1}{4}=4$, $4 \cdot \frac{1}{4}=1$. То есть 16, 4, 1.

Оба случая дают один и тот же набор чисел.

Ответ: 1, 4, 16.

15.26. Значение суммы трех чисел, образующих геометрическую прогрессию, равно 13, а значение суммы их квадратов равно 91. Найдите эти числа.

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим первый член прогрессии как $b$, а знаменатель прогрессии как $q$. Тогда эти три числа можно записать в виде $b$, $bq$, $bq^2$.

Согласно условию задачи, сумма этих трех чисел равна 13. Запишем это в виде уравнения: $b + bq + bq^2 = 13$

Вынесем $b$ за скобки: $b(1 + q + q^2) = 13$ (1)

Также по условию, сумма их квадратов равна 91. Запишем второе уравнение: $b^2 + (bq)^2 + (bq^2)^2 = 91$

Упростим это уравнение: $b^2 + b^2q^2 + b^2q^4 = 91$

Вынесем $b^2$ за скобки: $b^2(1 + q^2 + q^4) = 91$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b$ и $q$:
1) $b(1 + q + q^2) = 13$
2) $b^2(1 + q^2 + q^4) = 91$

Возведем обе части первого уравнения в квадрат: $(b(1 + q + q^2))^2 = 13^2$
$b^2(1 + q + q^2)^2 = 169$ (3)

Теперь разделим уравнение (3) на уравнение (2): $\frac{b^2(1 + q + q^2)^2}{b^2(1 + q^2 + q^4)} = \frac{169}{91}$

Сократим $b^2$ в левой части и дробь в правой части (169 = 13 · 13, 91 = 7 · 13): $\frac{(1 + q + q^2)^2}{1 + q^2 + q^4} = \frac{13}{7}$

Используем тождество $1 + q^2 + q^4 = (1 + q + q^2)(1 - q + q^2)$. Подставим его в знаменатель: $\frac{(1 + q + q^2)^2}{(1 + q + q^2)(1 - q + q^2)} = \frac{13}{7}$

Сократим дробь в левой части: $\frac{1 + q + q^2}{1 - q + q^2} = \frac{13}{7}$

Теперь решим это уравнение относительно $q$, используя свойство пропорции: $7(1 + q + q^2) = 13(1 - q + q^2)$
$7 + 7q + 7q^2 = 13 - 13q + 13q^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $13q^2 - 7q^2 - 13q - 7q + 13 - 7 = 0$
$6q^2 - 20q + 6 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $3q^2 - 10q + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$
$q_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

Получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии $q$:
$q_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$q_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем первый член прогрессии $b$ для каждого из значений $q$, используя уравнение (1): $b(1 + q + q^2) = 13$.

Случай 1: $q = 3$
$b(1 + 3 + 3^2) = 13$
$b(1 + 3 + 9) = 13$
$b(13) = 13$
$b = 1$

Тогда искомые числа:
$b_1 = b = 1$
$b_2 = bq = 1 \cdot 3 = 3$
$b_3 = bq^2 = 1 \cdot 3^2 = 9$
Получаем числа 1, 3, 9.

Случай 2: $q = \frac{1}{3}$
$b(1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2) = 13$
$b(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}) = 13$
$b(\frac{9}{9} + \frac{3}{9} + \frac{1}{9}) = 13$
$b(\frac{13}{9}) = 13$
$b = 9$

Тогда искомые числа:
$b_1 = b = 9$
$b_2 = bq = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$
$b_3 = bq^2 = 9 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 9 \cdot \frac{1}{9} = 1$
Получаем числа 9, 3, 1.

В обоих случаях мы получили один и тот же набор чисел {1, 3, 9}. Проверим:
Сумма чисел: $1 + 3 + 9 = 13$.
Сумма квадратов: $1^2 + 3^2 + 9^2 = 1 + 9 + 81 = 91$.
Условия задачи выполняются.

Ответ: искомые числа 1, 3, 9.