Страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

15.5. В геометрической прогрессии $(b_n)$ найдите:

1) $b_7$, если $b_1 = 3\sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$;

2) $b_5$, если $b_1 = -2\sqrt{3}$, $q = \sqrt{3}$;

3) $b_6$, если $b_1 = \sqrt{2}$, $q = -\frac{1}{\sqrt{2}}$;

4) $b_3$, если $b_1 = 1-\sqrt{2}$, $q = 1+\sqrt{2}$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$): $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

1) Найдём $b_7$, если $b_1 = 3\sqrt{2}$ и $q = -\sqrt{2}$.
Подставляем значения в формулу: $b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6 = 3\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^6$.
Поскольку показатель степени (6) — чётное число, то $(-\sqrt{2})^6 = (\sqrt{2})^6 = ((\sqrt{2})^2)^3 = 2^3 = 8$.
Следовательно, $b_7 = 3\sqrt{2} \cdot 8 = 24\sqrt{2}$.
Ответ: $24\sqrt{2}$.

2) Найдём $b_5$, если $b_1 = -2\sqrt{3}$ и $q = \sqrt{3}$.
Подставляем значения в формулу: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = -2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^4$.
Вычисляем степень: $(\sqrt{3})^4 = ((\sqrt{3})^2)^2 = 3^2 = 9$.
Следовательно, $b_5 = -2\sqrt{3} \cdot 9 = -18\sqrt{3}$.
Ответ: $-18\sqrt{3}$.

3) Найдём $b_6$, если $b_1 = \sqrt{2}$ и $q = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Подставляем значения в формулу: $b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})^5$.
Поскольку показатель степени (5) — нечётное число, знак минус сохраняется: $(-\frac{1}{\sqrt{2}})^5 = - \frac{1^5}{(\sqrt{2})^5} = - \frac{1}{(\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2}} = - \frac{1}{4\sqrt{2}}$.
Следовательно, $b_6 = \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{4\sqrt{2}}) = -\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

4) Найдём $b_3$, если $b_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $q = 1 + \sqrt{2}$.
Подставляем значения в формулу: $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = (1 - \sqrt{2}) \cdot (1 + \sqrt{2})^2$.
Для упрощения вычислений, представим $q^2$ как $(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$. Тогда $b_3 = (1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})$.
Произведение первых двух множителей является разностью квадратов: $(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$.
Следовательно, $b_3 = -1 \cdot (1 + \sqrt{2}) = -1 - \sqrt{2}$.
Ответ: $-1 - \sqrt{2}$.

15.6. Запишите пять первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_1 = 0,6$ и $q = 2$;

2) $b_1 = -1,2$ и $q = -\frac{1}{3}$;

3) $b_1 = -27$ и $q = -\frac{2}{3}$;

4) $b_1 = 3,6$ и $q = \frac{1}{6}$.

1) Для нахождения пяти первых членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 0,6$ и знаменателем $q = 2$, будем последовательно вычислять каждый член, умножая предыдущий на знаменатель по формуле $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
Первый член нам дан: $b_1 = 0,6$.
Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = 0,6 \cdot 2 = 1,2$.
Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = 1,2 \cdot 2 = 2,4$.
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 2,4 \cdot 2 = 4,8$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 4,8 \cdot 2 = 9,6$.
Таким образом, первые пять членов прогрессии: 0,6; 1,2; 2,4; 4,8; 9,6.
Ответ: 0,6; 1,2; 2,4; 4,8; 9,6.

2) Даны первый член $b_1 = -1,2$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$. Найдем первые пять членов.
Первый член: $b_1 = -1,2$.
Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = -1,2 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{12}{10} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{4}{10} = -0,4$.
Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = -0,4 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{4}{10} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{4}{30} = -\frac{2}{15}$.
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = -\frac{2}{15} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{2}{45}$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = -\frac{2}{45} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{2}{135}$.
Таким образом, первые пять членов прогрессии: -1,2; -0,4; $-\frac{2}{15}$; $-\frac{2}{45}$; $-\frac{2}{135}$.
Ответ: -1,2; -0,4; $-\frac{2}{15}$; $-\frac{2}{45}$; $-\frac{2}{135}$.

3) Даны первый член $b_1 = -27$ и знаменатель $q = -\frac{2}{3}$. Найдем первые пять членов.
Первый член: $b_1 = -27$.
Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = (-27) \cdot (-\frac{2}{3}) = 9 \cdot 2 = 18$.
Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = 18 \cdot (-\frac{2}{3}) = 6 \cdot (-2) = -12$.
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = (-12) \cdot (-\frac{2}{3}) = 4 \cdot 2 = 8$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 8 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{16}{3}$.
Таким образом, первые пять членов прогрессии: -27; 18; -12; 8; $-\frac{16}{3}$.
Ответ: -27; 18; -12; 8; $-\frac{16}{3}$.

4) Даны первый член $b_1 = 3,6$ и знаменатель $q = \frac{1}{6}$. Найдем первые пять членов.
Первый член: $b_1 = 3,6$.
Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = 3,6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{36}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{10} = 0,6$.
Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = 0,6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 0,1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{60}$.
Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{360}$.
Таким образом, первые пять членов прогрессии: 3,6; 0,6; 0,1; $\frac{1}{60}$; $\frac{1}{360}$.
Ответ: 3,6; 0,6; 0,1; $\frac{1}{60}$; $\frac{1}{360}$.

15.7. Второй член геометрической прогрессии равен 6. Найдите значение произведения первых трех членов этой прогрессии.

Пусть $b_1, b_2, b_3, \dots$ — члены геометрической прогрессии. По условию задачи, второй член прогрессии равен 6, то есть $b_2 = 6$.

Требуется найти значение произведения первых трех членов этой прогрессии: $P = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3$.

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии: квадрат любого члена прогрессии, начиная со второго, равен произведению его соседних членов. Для второго члена $b_2$ это свойство записывается как: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения первых трех членов: $P = (b_1 \cdot b_3) \cdot b_2$

Заменив произведение $b_1 \cdot b_3$ на $b_2^2$, получим: $P = b_2^2 \cdot b_2 = b_2^3$

Так как по условию $b_2 = 6$, мы можем вычислить значение произведения: $P = 6^3 = 216$

Ответ: 216

15.8. Третий член геометрической прогрессии равен $\\sqrt{3}$. Найдите значение произведения первых пяти членов этой прогрессии.

Пусть $(b_n)$ - геометрическая прогрессия, где $b_1$ - первый член, а $q$ - знаменатель прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, третий член прогрессии равен $\sqrt{3}$, то есть $b_3 = \sqrt{3}$.

Нам необходимо найти произведение первых пяти членов этой прогрессии. Обозначим это произведение как $P_5$.

$P_5 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4 \cdot b_5$

Выразим каждый член через $b_1$ и $q$:

$b_1 = b_1$

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Теперь подставим эти выражения в формулу для произведения:

$P_5 = b_1 \cdot (b_1 q) \cdot (b_1 q^2) \cdot (b_1 q^3) \cdot (b_1 q^4)$

Сгруппируем множители $b_1$ и $q$:

$P_5 = (b_1 \cdot b_1 \cdot b_1 \cdot b_1 \cdot b_1) \cdot (q^{0} \cdot q^{1} \cdot q^{2} \cdot q^{3} \cdot q^{4})$

$P_5 = b_1^5 \cdot q^{0+1+2+3+4}$

$P_5 = b_1^5 \cdot q^{10}$

Полученное выражение можно преобразовать, вынеся степень 5 за скобки:

$P_5 = (b_1 \cdot q^2)^5$

Заметим, что выражение в скобках $b_1 \cdot q^2$ является формулой для третьего члена прогрессии, $b_3$.

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Следовательно, мы можем выразить произведение $P_5$ через $b_3$:

$P_5 = (b_3)^5$

Так как по условию $b_3 = \sqrt{3}$, подставим это значение в формулу:

$P_5 = (\sqrt{3})^5$

Вычислим значение:

$P_5 = (\sqrt{3})^2 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

Ответ: $9\sqrt{3}$

15.9. Запишите пять первых членов геометрической прогрессии, у которой третий член равен -8, а пятый равен -332.

Пусть $b_n$ — n-й член геометрической прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи, нам даны третий и пятый члены прогрессии:
$b_3 = -8$
$b_5 = -332$

Связь между любыми двумя членами геометрической прогрессии определяется формулой $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$. Применим эту формулу для $b_5$ и $b_3$, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$.
$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$

Подставим известные значения в формулу:
$-332 = -8 \cdot q^2$

Теперь решим это уравнение относительно $q^2$:
$q^2 = \frac{-332}{-8} = \frac{332}{8} = 41.5$

Из этого уравнения следует, что для знаменателя $q$ есть два возможных значения: $q_1 = \sqrt{41.5}$ и $q_2 = -\sqrt{41.5}$. Следовательно, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи.

Далее найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу $b_3 = b_1 \cdot q^2$. Так как в эту формулу входит $q^2$, значение $b_1$ будет одинаковым для обоих случаев.
$-8 = b_1 \cdot 41.5$
$b_1 = \frac{-8}{41.5} = \frac{-8}{83/2} = -\frac{16}{83}$

Теперь мы можем найти первые пять членов для каждой из двух возможных прогрессий.

Случай 1: $q = \sqrt{41.5}$
$b_1 = -\frac{16}{83}$
$b_2 = b_1 \cdot q = -\frac{16}{83} \sqrt{41.5}$
$b_3 = b_1 \cdot q^2 = -\frac{16}{83} \cdot 41.5 = -8$
$b_4 = b_3 \cdot q = -8 \sqrt{41.5}$
$b_5 = b_3 \cdot q^2 = -8 \cdot 41.5 = -332$
Первые пять членов этой прогрессии: $-\frac{16}{83}; -\frac{16}{83}\sqrt{41.5}; -8; -8\sqrt{41.5}; -332$.

Случай 2: $q = -\sqrt{41.5}$
$b_1 = -\frac{16}{83}$
$b_2 = b_1 \cdot q = -\frac{16}{83} \cdot (-\sqrt{41.5}) = \frac{16}{83}\sqrt{41.5}$
$b_3 = b_1 \cdot q^2 = -\frac{16}{83} \cdot 41.5 = -8$
$b_4 = b_3 \cdot q = -8 \cdot (-\sqrt{41.5}) = 8\sqrt{41.5}$
$b_5 = b_3 \cdot q^2 = -8 \cdot 41.5 = -332$
Первые пять членов этой прогрессии: $-\frac{16}{83}; \frac{16}{83}\sqrt{41.5}; -8; 8\sqrt{41.5}; -332$.

Ответ: Существуют две прогрессии, удовлетворяющие заданным условиям. Их первые пять членов:
1) $-\frac{16}{83}; -\frac{16\sqrt{41.5}}{83}; -8; -8\sqrt{41.5}; -332$
2) $-\frac{16}{83}; \frac{16\sqrt{41.5}}{83}; -8; 8\sqrt{41.5}; -332$

15.10. Запишите пять первых членов геометрической прогрессии, у которой третий член равен $3\sqrt{3}$, а пятый равен $9\sqrt{3}$.

Пусть $(b_n)$ - искомая геометрическая прогрессия, где $b_1$ - её первый член, а $q$ - её знаменатель.

По условию задачи нам даны третий член $b_3 = 3\sqrt{3}$ и пятый член $b_5 = 9\sqrt{3}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Также любой член прогрессии можно выразить через другой её член по формуле $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$. Воспользуемся этой формулой для $b_5$ и $b_3$:
$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$.

Подставим известные значения в полученное уравнение, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:
$9\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot q^2$

Разделим обе части уравнения на $3\sqrt{3}$:
$q^2 = \frac{9\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$
$q^2 = 3$

Из данного уравнения следует, что знаменатель прогрессии $q$ может иметь два значения: $q = \sqrt{3}$ или $q = -\sqrt{3}$. Это означает, что условию задачи удовлетворяют две различные геометрические прогрессии.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Воспользуемся формулой $b_3 = b_1 \cdot q^2$. Поскольку мы уже определили, что $q^2 = 3$, значение $b_1$ будет одинаковым для обоих случаев.
$3\sqrt{3} = b_1 \cdot 3$
$b_1 = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Зная первый член $b_1$ и два возможных значения знаменателя $q$, найдем первые пять членов для каждой из двух прогрессий.

Случай 1: $q = \sqrt{3}$
Последовательно вычисляем члены прогрессии:
$b_1 = \sqrt{3}$
$b_2 = b_1 \cdot q = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$
$b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
$b_4 = b_3 \cdot q = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$
$b_5 = b_4 \cdot q = 9 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$
Первые пять членов этой прогрессии: $\sqrt{3}; 3; 3\sqrt{3}; 9; 9\sqrt{3}$.

Случай 2: $q = -\sqrt{3}$
Последовательно вычисляем члены прогрессии:
$b_1 = \sqrt{3}$
$b_2 = b_1 \cdot q = \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -3$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-3) \cdot (-\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}$
$b_4 = b_3 \cdot q = 3\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -9$
$b_5 = b_4 \cdot q = (-9) \cdot (-\sqrt{3}) = 9\sqrt{3}$
Первые пять членов этой прогрессии: $\sqrt{3}; -3; 3\sqrt{3}; -9; 9\sqrt{3}$.

Ответ: Существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию. Их первые пять членов: $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, 9, 9\sqrt{3}$ или $\sqrt{3}, -3, 3\sqrt{3}, -9, 9\sqrt{3}$.

15.11. Запишите шестой и n-й член геометрической прогрессии:

1) 192; 48; 12; ...

2) $\frac{64}{9}$; $-\frac{32}{3}$; ...

3) -0,0001; 0,001; -0,01; ...

4) 2; $-2\sqrt{2}$; 4; ...

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

1) Дана прогрессия: 192; 48; 12; ...
Первый член прогрессии $b_1 = 192$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{48}{192} = \frac{1}{4}$.
Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = 192 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$.
Найдем шестой член прогрессии, подставив $n=6$ в формулу:
$b_6 = 192 \cdot (\frac{1}{4})^{6-1} = 192 \cdot (\frac{1}{4})^5 = 192 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{192}{1024} = \frac{3 \cdot 64}{16 \cdot 64} = \frac{3}{16}$.
Ответ: шестой член $b_6 = \frac{3}{16}$, n-й член $b_n = 192 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$.

2) Дана прогрессия: $\frac{64}{9}$; $-\frac{32}{3}$; ...
Первый член прогрессии $b_1 = \frac{64}{9}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-32/3}{64/9} = -\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{64} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = -\frac{3}{2}$.
Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^{n-1}$.
Найдем шестой член прогрессии, подставив $n=6$ в формулу:
$b_6 = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^{6-1} = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^5 = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{243}{32}) = - \frac{64 \cdot 243}{9 \cdot 32} = - (2 \cdot 27) = -54$.
Ответ: шестой член $b_6 = -54$, n-й член $b_n = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^{n-1}$.

3) Дана прогрессия: –0,0001; 0,001; –0,01; ...
Первый член прогрессии $b_1 = -0,0001$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,001}{-0,0001} = -10$.
Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = -0,0001 \cdot (-10)^{n-1}$.
Найдем шестой член прогрессии, подставив $n=6$ в формулу:
$b_6 = -0,0001 \cdot (-10)^{6-1} = -0,0001 \cdot (-10)^5 = -0,0001 \cdot (-100000) = 10$.
Ответ: шестой член $b_6 = 10$, n-й член $b_n = -0,0001 \cdot (-10)^{n-1}$.

4) Дана прогрессия: 2; $-2\sqrt{2}$; 4; ...
Первый член прогрессии $b_1 = 2$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.
Формула n-го члена для данной прогрессии: $b_n = 2 \cdot (-\sqrt{2})^{n-1}$.
Найдем шестой член прогрессии, подставив $n=6$ в формулу:
$b_6 = 2 \cdot (-\sqrt{2})^{6-1} = 2 \cdot (-\sqrt{2})^5 = 2 \cdot (-(\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2}) = 2 \cdot (-4\sqrt{2}) = -8\sqrt{2}$.
Ответ: шестой член $b_6 = -8\sqrt{2}$, n-й член $b_n = 2 \cdot (-\sqrt{2})^{n-1}$.

15.12. Геометрическая прогрессия $(x_n)$ состоит из четырех членов:

1) $2, x_2, x_3, 0.25$;

2) $3, x_2, x_3, -\frac{1}{9}$.

Найдите $x_2$ и $x_3$.

1) В данном случае дана геометрическая прогрессия $x_n$, состоящая из четырех членов: $2, x_2, x_3, 0,25$.
Первый член прогрессии $x_1 = 2$, а четвертый член $x_4 = 0,25$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.
Используя эту формулу для четвертого члена, получаем:
$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = x_1 \cdot q^3$
Подставим известные значения в формулу:
$0,25 = 2 \cdot q^3$
Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{1}{4}$.
$\frac{1}{4} = 2 \cdot q^3$
Найдем $q^3$:
$q^3 = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$
Извлечем кубический корень, чтобы найти знаменатель $q$:
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$
Теперь мы можем найти неизвестные члены прогрессии $x_2$ и $x_3$:
$x_2 = x_1 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
$x_3 = x_2 \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0,5$
Проверка: $x_4 = x_3 \cdot q = 0,5 \cdot \frac{1}{2} = 0,25$. Значение совпадает.
Ответ: $x_2 = 1, x_3 = 0,5$.

2) В данном случае дана геометрическая прогрессия $x_n$, состоящая из четырех членов: $3, x_2, x_3, -\frac{1}{9}$.
Первый член прогрессии $x_1 = 3$, а четвертый член $x_4 = -\frac{1}{9}$.
Используем формулу для четвертого члена: $x_4 = x_1 \cdot q^3$.
Подставим известные значения в формулу:
$-\frac{1}{9} = 3 \cdot q^3$
Найдем $q^3$:
$q^3 = -\frac{1}{9 \cdot 3} = -\frac{1}{27}$
Извлечем кубический корень, чтобы найти знаменатель $q$:
$q = \sqrt[3]{-\frac{1}{27}} = -\frac{1}{3}$
Теперь мы можем найти неизвестные члены прогрессии $x_2$ и $x_3$:
$x_2 = x_1 \cdot q = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$
$x_3 = x_2 \cdot q = -1 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$
Проверка: $x_4 = x_3 \cdot q = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{9}$. Значение совпадает.
Ответ: $x_2 = -1, x_3 = \frac{1}{3}$.

15.13. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найдите ее знаменатель, если длина гипотенузы равна:

1) 2 м;

2) 6 м.

Пусть стороны прямоугольного треугольника $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. Так как длины сторон должны быть положительными, $b_1 > 0$ и $q > 0$. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Чтобы стороны были различны, $q \neq 1$.

Рассмотрим случай, когда знаменатель прогрессии $q > 1$. В этом случае члены прогрессии возрастают, и стороны треугольника в порядке возрастания можно записать как $b_1, b_1q, b_1q^2$. Тогда катеты равны $a = b_1$ и $b = b_1q$, а гипотенуза $c = b_1q^2$.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим выражения для сторон через $b_1$ и $q$:

$(b_1)^2 + (b_1q)^2 = (b_1q^2)^2$

Вынесем $b_1^2$ за скобки:

$b_1^2(1 + q^2) = b_1^2q^4$

Поскольку длина $b_1 > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1^2$:

$1 + q^2 = q^4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение относительно $q$:

$q^4 - q^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $x = q^2$. Так как мы предположили, что $q > 1$, то $x > 1$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Мы получили два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Поскольку $x = q^2$, значение $x$ должно быть положительным. Корень $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0$, поэтому он не подходит. Остается единственный возможный корень:

$x = q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Это значение больше единицы, что соответствует нашему предположению $q > 1$. Теперь найдем $q$, взяв положительный квадратный корень:

$q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

Заметим, что если бы мы рассмотрели случай $0 < q < 1$, то стороны были бы $b_1q^2, b_1q, b_1$, где гипотенуза равна $b_1$. Это привело бы к знаменателю $q = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$, что является обратной величиной к найденной. В задачах такого типа традиционно ищут знаменатель, который больше 1.

Важно, что значение знаменателя $q$ является постоянной величиной, которая зависит только от того, что стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Оно не зависит от конкретных длин сторон, то есть от масштаба треугольника. Таким образом, длина гипотенузы, данная в условии (2 м или 6 м), не влияет на искомое значение знаменателя.

1) Для гипотенузы, равной 2 м, знаменатель прогрессии будет таким же, как и для любого другого подобного треугольника.
Ответ: $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

2) Для гипотенузы, равной 6 м, знаменатель прогрессии также не изменится.
Ответ: $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

15.14. 1) Величины углов выпуклого четырехугольника образуют конечную геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. Найдите величины углов этого четырехугольника.

2) Величины углов треугольника образуют конечную геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 3. Найдите величины углов этого треугольника.

1)

Пусть величины углов выпуклого четырехугольника образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$ со знаменателем $q=2$. Обозначим первый член прогрессии (наименьший угол) как $x$. Тогда четыре угла четырехугольника равны:

$b_1 = x$

$b_2 = x \cdot q = 2x$

$b_3 = x \cdot q^2 = 4x$

$b_4 = x \cdot q^3 = 8x$

Сумма углов любого четырехугольника равна $360^{\circ}$. Составим и решим уравнение:

$x + 2x + 4x + 8x = 360^{\circ}$

$15x = 360^{\circ}$

$x = \frac{360^{\circ}}{15}$

$x = 24^{\circ}$

Теперь найдем величины всех углов:

Первый угол: $x = 24^{\circ}$

Второй угол: $2x = 2 \cdot 24^{\circ} = 48^{\circ}$

Третий угол: $4x = 4 \cdot 24^{\circ} = 96^{\circ}$

Четвертый угол: $8x = 8 \cdot 24^{\circ} = 192^{\circ}$

Проверим условие выпуклости. У выпуклого многоугольника все внутренние углы должны быть меньше $180^{\circ}$. В нашем случае один из углов равен $192^{\circ}$, что больше $180^{\circ}$. Это означает, что четырехугольник с такими углами не может быть выпуклым, он является вогнутым. Однако, если в задаче имелся в виду произвольный четырехугольник, то найденные значения являются верным решением.

Ответ: $24^{\circ}, 48^{\circ}, 96^{\circ}, 192^{\circ}$.

2)

Пусть величины углов треугольника образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$ со знаменателем $q=3$. Обозначим первый член прогрессии (наименьший угол) как $x$. Тогда три угла треугольника равны:

$b_1 = x$

$b_2 = x \cdot q = 3x$

$b_3 = x \cdot q^2 = 9x$

Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Составим и решим уравнение:

$x + 3x + 9x = 180^{\circ}$

$13x = 180^{\circ}$

$x = \frac{180^{\circ}}{13}$

Теперь найдем величины всех углов:

Первый угол: $x = (\frac{180}{13})^{\circ}$, что составляет примерно $13,85^{\circ}$ или $13\frac{11}{13}^{\circ}$.

Второй угол: $3x = 3 \cdot \frac{180^{\circ}}{13} = (\frac{540}{13})^{\circ}$, что составляет примерно $41,54^{\circ}$ или $41\frac{7}{13}^{\circ}$.

Третий угол: $9x = 9 \cdot \frac{180^{\circ}}{13} = (\frac{1620}{13})^{\circ}$, что составляет примерно $124,61^{\circ}$ или $124\frac{8}{13}^{\circ}$.

Все найденные углы положительны и меньше $180^{\circ}$, следовательно, такой треугольник существует.

Ответ: $(\frac{180}{13})^{\circ}, (\frac{540}{13})^{\circ}, (\frac{1620}{13})^{\circ}$.