Страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

15.34. Какое множество точек на координатной плоскости задает неравенство:

1) $x^2 + y^2 + 2x - 6y \ge 4$;

2) $x^2 + y^2 - 10x - 2y \ge 0$;

3) $x^2 + y^2 - x + y < 1$;

4) $x^2 + y^2 - 2x - 2y < 2$?

1) $x^2 + y^2 + 2x - 6y \ge 4$

Для определения множества точек, заданного этим неравенством, приведем его к каноническому виду уравнения окружности, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) \ge 4$

Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадраты половины коэффициентов при $x$ и $y$:

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 6y + 9) - 9 \ge 4$

Свернем полные квадраты:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 10 \ge 4$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 \ge 14$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $(-1, 3)$ не меньше, чем $\sqrt{14}$. Геометрически это представляет собой все точки, лежащие на окружности с центром в точке $O(-1, 3)$ и радиусом $R = \sqrt{14}$, а также все точки, лежащие вне этой окружности.

Ответ: множество точек на координатной плоскости, расположенных на и вне окружности с центром в точке $(-1, 3)$ и радиусом $\sqrt{14}$.

2) $x^2 + y^2 - 10x - 2y \ge 0$

Преобразуем неравенство, выделив полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 10x) + (y^2 - 2y) \ge 0$

Дополним до полных квадратов:

$(x^2 - 10x + 25) - 25 + (y^2 - 2y + 1) - 1 \ge 0$

Свернем квадраты и упростим:

$(x - 5)^2 + (y - 1)^2 - 26 \ge 0$

$(x - 5)^2 + (y - 1)^2 \ge 26$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $(5, 1)$ не меньше, чем $\sqrt{26}$. Это все точки, лежащие на окружности с центром в точке $O(5, 1)$ и радиусом $R = \sqrt{26}$, и все точки вне этой окружности.

Ответ: множество точек, расположенных на и вне окружности с центром в точке $(5, 1)$ и радиусом $\sqrt{26}$.

3) $x^2 + y^2 - x + y < 1$

Преобразуем неравенство, выделив полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - x) + (y^2 + y) < 1$

Дополним до полных квадратов. Коэффициенты при $x$ и $y$ равны -1 и 1. Половины этих коэффициентов: $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$. Их квадраты равны $\frac{1}{4}$.

$(x^2 - x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + (y^2 + y + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} < 1$

Свернем квадраты:

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} < 1$

Перенесем свободный член вправо:

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 < 1 + \frac{1}{2}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 < \frac{3}{2}$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ строго меньше, чем $\sqrt{\frac{3}{2}}$. Геометрически это внутренность круга (открытый круг), не включая границу, с центром в точке $O(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ и радиусом $R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: множество точек внутри окружности (открытый круг) с центром в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ и радиусом $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

4) $x^2 + y^2 - 2x - 2y < 2$

Преобразуем неравенство, выделив полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) < 2$

Дополним до полных квадратов:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 2y + 1) - 1 < 2$

Свернем квадраты и упростим:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 < 2$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 < 4$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 < 2^2$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $(1, 1)$ строго меньше, чем 2. Это внутренность круга (открытый круг), не включая границу, с центром в точке $O(1, 1)$ и радиусом $R = 2$.

Ответ: множество точек внутри окружности (открытый круг) с центром в точке $(1, 1)$ и радиусом $2$.

15.35. 1) Найдите значение суммы всех трехзначных чисел, меньших 600 и кратных 8.

2) Найдите значение суммы всех трехзначных чисел, больших 500, которые при делении на 23 дают в остатке число 10.

1)

Нам нужно найти сумму всех трехзначных чисел, которые меньше 600 и кратны 8. Трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Условие "меньше 600" сужает этот диапазон до чисел от 100 до 599.

Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее первый член, последний член и разность.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Это наименьшее трехзначное число, кратное 8. Разделим 100 на 8: $100 / 8 = 12.5$. Округляем до ближайшего большего целого числа (13) и умножаем на 8: $13 \cdot 8 = 104$. Итак, $a_1 = 104$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Это наибольшее число, меньшее 600, которое кратно 8. Разделим 599 на 8: $599 / 8 = 74.875$. Округляем до ближайшего меньшего целого числа (74) и умножаем на 8: $74 \cdot 8 = 592$. Итак, $a_n = 592$.

3. Разность прогрессии ($d$) равна 8, так как мы ищем числа, кратные 8.

4. Теперь найдем количество членов прогрессии ($n$) по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. $592 = 104 + (n-1) \cdot 8$ $592 - 104 = (n-1) \cdot 8$ $488 = (n-1) \cdot 8$ $n-1 = 488 / 8$ $n-1 = 61$ $n = 62$ Всего 62 таких числа.

5. Вычислим сумму прогрессии ($S_n$) по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. $S_{62} = \frac{104 + 592}{2} \cdot 62$ $S_{62} = \frac{696}{2} \cdot 62$ $S_{62} = 348 \cdot 62 = 21576$. Или можно было посчитать так: $S_{62} = (104 + 592) \cdot \frac{62}{2} = 696 \cdot 31 = 21576$.

Ответ: 21576

2)

Нам нужно найти сумму всех трехзначных чисел, больших 500, которые при делении на 23 дают в остатке число 10. Трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Условие "больше 500" сужает этот диапазон до чисел от 501 до 999. Числа, которые при делении на 23 дают в остатке 10, можно представить в виде $23k + 10$, где $k$ – целое число.

Эти числа также образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 23$.

1. Найдем первый член прогрессии ($b_1$). Это наименьшее число вида $23k + 10$, которое больше 500. $23k + 10 > 500$ $23k > 490$ $k > 490 / 23$ $k > 21.3...$ Поскольку $k$ целое, наименьшее значение $k = 22$. $b_1 = 23 \cdot 22 + 10 = 506 + 10 = 516$.

2. Найдем последний член прогрессии ($b_n$). Это наибольшее трехзначное число вида $23k + 10$. $23k + 10 \le 999$ $23k \le 989$ $k \le 989 / 23$ $k \le 43$ Наибольшее целое значение $k = 43$. $b_n = 23 \cdot 43 + 10 = 989 + 10 = 999$.

3. Найдем количество членов прогрессии ($n$). Мы знаем, что $k$ изменяется от 22 до 43 включительно. Количество членов $n = 43 - 22 + 1 = 22$. Проверим по формуле n-го члена: $b_n = b_1 + (n-1)d$. $999 = 516 + (n-1) \cdot 23$ $999 - 516 = (n-1) \cdot 23$ $483 = (n-1) \cdot 23$ $n-1 = 483 / 23 = 21$ $n = 22$. Всего 22 таких числа.

4. Вычислим сумму прогрессии ($S_n$) по формуле: $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$. $S_{22} = \frac{516 + 999}{2} \cdot 22$ $S_{22} = (516 + 999) \cdot 11$ $S_{22} = 1515 \cdot 11 = 16665$.

Ответ: 16665

15.36. Упростите выражение и найдите его значение при $x = 2,5$:

1) $\frac{x^6 - 1}{x^2 + x + 1} : \frac{x^3 + 1}{x - 1} - 2;$

2) $\frac{x^9 - 1}{x^6 + x^3 + 1} : \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} - \frac{3(x + 1)}{x - 1}.$

1) Упростим выражение $\frac{x^6 - 1}{x^2 + x + 1} : \frac{x^3 + 1}{x - 1} - 2$.

Сначала выполним деление дробей. Для этого заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$\frac{x^6 - 1}{x^2 + x + 1} : \frac{x^3 + 1}{x - 1} = \frac{x^6 - 1}{x^2 + x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x^3 + 1}$

Разложим числитель первой дроби $x^6 - 1$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$ и $b=1$:

$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$

Подставим это в выражение:

$\frac{(x^3 - 1)(x^3 + 1)}{x^2 + x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x^3 + 1}$

Сократим общий множитель $(x^3 + 1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{x^3 - 1}{x^2 + x + 1} \cdot (x - 1)$

Теперь разложим на множители $x^3 - 1$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Подставим обратно в выражение:

$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} \cdot (x - 1)$

Сократим общий множитель $(x^2 + x + 1)$:

$(x - 1) \cdot (x - 1) = (x - 1)^2$

Теперь вернемся к исходному выражению, подставив упрощенную часть:

$(x - 1)^2 - 2$

Найдем значение этого выражения при $x = 2,5$:

$(2,5 - 1)^2 - 2 = (1,5)^2 - 2 = 2,25 - 2 = 0,25$

Ответ: $0,25$

2) Упростим выражение $\frac{x^9 - 1}{x^6 + x^3 + 1} : \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} - \frac{3(x+1)}{x-1}$.

Сначала выполним деление. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$\frac{x^9 - 1}{x^6 + x^3 + 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^3 + 1}$

Разложим на множители числитель первой дроби $x^9 - 1$. Представим его как разность кубов, где $a = x^3$ и $b=1$:

$x^9 - 1 = (x^3)^3 - 1^3 = (x^3 - 1)((x^3)^2 + x^3 \cdot 1 + 1^2) = (x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)$

Подставим это в выражение для деления:

$\frac{(x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)}{x^6 + x^3 + 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^3 + 1}$

Сократим общий множитель $(x^6 + x^3 + 1)$:

$(x^3 - 1) \cdot \frac{x^2 - 1}{x^3 + 1} = \frac{(x^3 - 1)(x^2 - 1)}{x^3 + 1}$

Теперь разложим на множители оставшиеся многочлены:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$

Сократим общий множитель $(x + 1)$:

$\frac{(x - 1)^2(x^2 + x + 1)}{x^2 - x + 1}$

Теперь вернемся к исходному выражению. Оно имеет вид:

$\frac{(x - 1)^2(x^2 + x + 1)}{x^2 - x + 1} - \frac{3(x+1)}{x-1}$

Это выражение не упрощается до простого многочлена. Найдем его значение при $x = 2,5$.

Подставим $x = 2,5 = \frac{5}{2}$:

Первый член: $\frac{(\frac{5}{2} - 1)^2((\frac{5}{2})^2 + \frac{5}{2} + 1)}{(\frac{5}{2})^2 - \frac{5}{2} + 1} = \frac{(\frac{3}{2})^2(\frac{25}{4} + \frac{10}{4} + \frac{4}{4})}{\frac{25}{4} - \frac{10}{4} + \frac{4}{4}} = \frac{\frac{9}{4} \cdot \frac{39}{4}}{\frac{19}{4}} = \frac{\frac{351}{16}}{\frac{19}{4}} = \frac{351}{16} \cdot \frac{4}{19} = \frac{351}{4 \cdot 19} = \frac{351}{76}$.

Второй член: $\frac{3(\frac{5}{2}+1)}{\frac{5}{2}-1} = \frac{3 \cdot \frac{7}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{21}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{21}{3} = 7$.

Вычислим разность:

$\frac{351}{76} - 7 = \frac{351}{76} - \frac{7 \cdot 76}{76} = \frac{351 - 532}{76} = -\frac{181}{76}$

Ответ: $-\frac{181}{76}$

15.37. Упростите выражение:

1) $\frac{8^3 : 4^4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^{53};$

2) $\frac{5^5 (x^3 \cdot x)^2}{(-5x^2)^3};$

3) $\frac{(a^3 \cdot 2x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot 4x^7};$

4) $\frac{8(b^3 \cdot x^4)^3}{(-2b^3)^2 \cdot x^{12}}.$

1)Для упрощения выражения $\frac{8^3 : 4^4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^{53}$ выполним следующие действия.
Сначала преобразуем числа в числителе, представив их как степени двойки: $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.
Тогда $8^3 : 4^4 = (2^3)^3 : (2^2)^4 = 2^9 : 2^8 = 2^{9-8} = 2$.
В знаменателе любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $14^0 = 1$.
Выражение принимает вид: $\frac{2}{1 \cdot a^{-2}} \cdot a^{53}$.
Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{a^{-2}} = a^2$.
Теперь выражение выглядит так: $2a^2 \cdot a^{53}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $2a^{2+53} = 2a^{55}$.
Ответ: $2a^{55}$

2)Рассмотрим выражение $\frac{5^5 (x^3 \cdot x)^2}{(-5x^2)^3}$.
Упростим числитель: $x^3 \cdot x = x^{3+1} = x^4$. Тогда $(x^3 \cdot x)^2 = (x^4)^2 = x^8$. Весь числитель равен $5^5 x^8$.
Упростим знаменатель: $(-5x^2)^3 = (-5)^3 \cdot (x^2)^3 = -125 \cdot x^6$. Так как $125 = 5^3$, знаменатель равен $-5^3 x^6$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{5^5 x^8}{-5^3 x^6}$.
Разделим числовые коэффициенты и переменные отдельно: $-\frac{5^5}{5^3} \cdot \frac{x^8}{x^6}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $-5^{5-3} \cdot x^{8-6} = -5^2 \cdot x^2 = -25x^2$.
Ответ: $-25x^2$

3)Упростим выражение $\frac{(a^3 \cdot 2x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot 4x^7}$.
Возведем в степень числитель: $(a^3 \cdot 2x^4)^2 = (a^3)^2 \cdot 2^2 \cdot (x^4)^2 = a^{3 \cdot 2} \cdot 4 \cdot x^{4 \cdot 2} = 4a^6x^8$.
Упростим знаменатель: $(a^2)^2 \cdot 4x^7 = a^{2 \cdot 2} \cdot 4x^7 = 4a^4x^7$.
Подставим упрощенные части в исходное выражение: $\frac{4a^6x^8}{4a^4x^7}$.
Сократим общий множитель 4: $\frac{a^6x^8}{a^4x^7}$.
Разделим степени с одинаковыми основаниями: $a^{6-4} \cdot x^{8-7} = a^2x^1 = a^2x$.
Ответ: $a^2x$

4)Упростим выражение $\frac{8(b^3 \cdot x^4)^3}{(-2b^3)^2 \cdot x^{12}}$.
Сначала упростим числитель: $8(b^3 \cdot x^4)^3 = 8 \cdot (b^3)^3 \cdot (x^4)^3 = 8 \cdot b^{3 \cdot 3} \cdot x^{4 \cdot 3} = 8b^9x^{12}$.
Теперь упростим знаменатель: $(-2b^3)^2 \cdot x^{12} = (-2)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot x^{12} = 4 \cdot b^{3 \cdot 2} \cdot x^{12} = 4b^6x^{12}$.
Запишем дробь с упрощенными числителем и знаменателем: $\frac{8b^9x^{12}}{4b^6x^{12}}$.
Разделим коэффициенты и переменные: $\frac{8}{4} \cdot \frac{b^9}{b^6} \cdot \frac{x^{12}}{x^{12}}$.
Выполним деление: $2 \cdot b^{9-6} \cdot x^{12-12} = 2 \cdot b^3 \cdot x^0$.
Так как $x^0 = 1$ (при $x \neq 0$), получаем $2b^3$.
Ответ: $2b^3$

15.38. Найдите значение числового выражения:

1) $\frac{\left(\frac{1}{9}\right)^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^5} + \frac{2}{3}$;

2) $90 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2} - 2 \cdot 5^{-1} \cdot 3^{-2}$;

3) $17 - \frac{34^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 2^2$;

4) $210 - \frac{51^3}{17^2 \cdot 9^3} \cdot 18^2$.

1) $\frac{(\frac{1}{9})^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^5} + \frac{2}{3}$

Сначала упростим первое слагаемое. Используем свойства степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Преобразуем числитель дроби:

$(\frac{1}{9})^{-3} = 9^3$

Тогда числитель равен:

$9^3 \cdot \frac{1}{9} = 9^3 \cdot 9^{-1} = 9^{3-1} = 9^2$

Представим 9 как степень 3: $9 = 3^2$. Тогда $9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Теперь подставим это в первое слагаемое:

$\frac{3^4}{3^5} = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1+2}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Ответ: 1

2) $90 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2} - 2 \cdot 5^{-1} \cdot 3^{-2}$

Упростим каждое слагаемое, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Первое слагаемое:

$90 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2} = 90 \cdot \frac{1}{5^2 \cdot 9^2} = \frac{90}{25 \cdot 81}$

Сократим дробь. Разложим 90 на множители: $90 = 9 \cdot 10$.

$\frac{9 \cdot 10}{25 \cdot 81} = \frac{10}{25 \cdot 9} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{2}{5 \cdot 9} = \frac{2}{45}$

Второе слагаемое:

$2 \cdot 5^{-1} \cdot 3^{-2} = 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{2}{5 \cdot 9} = \frac{2}{45}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{2}{45} - \frac{2}{45} = 0$

Ответ: 0

3) $17 - \frac{34^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 2^2$

Сначала упростим второе слагаемое. Представим $34$ как $17 \cdot 2$.

$34^3 = (17 \cdot 2)^3 = 17^3 \cdot 2^3$

Подставим это в выражение:

$\frac{17^3 \cdot 2^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 2^2$

Упростим дроби, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{17^3}{17^2} = 17^{3-2} = 17^1 = 17$

$\frac{2^3}{2^4} = 2^{3-4} = 2^{-1}$

Теперь второе слагаемое выглядит так:

$17 \cdot 2^{-1} \cdot 2^2$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$17 \cdot 2^{-1+2} = 17 \cdot 2^1 = 17 \cdot 2 = 34$

Теперь выполним вычитание:

$17 - 34 = -17$

Ответ: -17

4) $210 - \frac{51^3}{17^2 \cdot 9^3} \cdot 18^2$

Упростим второе слагаемое. Разложим числа на простые множители:

$51 = 17 \cdot 3$

$9 = 3^2$

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

Подставим эти разложения в выражение:

$\frac{(17 \cdot 3)^3}{17^2 \cdot (3^2)^3} \cdot (2 \cdot 3^2)^2 = \frac{17^3 \cdot 3^3}{17^2 \cdot 3^6} \cdot (2^2 \cdot 3^4)$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{17^3}{17^2} \cdot \frac{3^3 \cdot 3^4}{3^6} \cdot 2^2 = 17^{3-2} \cdot \frac{3^{3+4}}{3^6} \cdot 2^2 = 17^1 \cdot \frac{3^7}{3^6} \cdot 4 = 17 \cdot 3^{7-6} \cdot 4 = 17 \cdot 3^1 \cdot 4$

Вычислим значение этого выражения:

$17 \cdot 3 \cdot 4 = 51 \cdot 4 = 204$

Теперь выполним вычитание:

$210 - 204 = 6$

Ответ: 6

15.39. Для геометрической прогрессии $b_1=16$, $q=-0,5$ запишите:

1) $b_3$;

2) $b_6$;

3) $b_7$;

4) $b_{10}$.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — порядковый номер члена.

По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = 16$, а знаменатель $q = -0,5$.

1) $b_3$
Для нахождения третьего члена прогрессии ($n=3$) подставим данные в формулу:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
$b_3 = 16 \cdot (-0,5)^2 = 16 \cdot 0,25 = 4$
Ответ: 4

2) $b_6$
Для нахождения шестого члена прогрессии ($n=6$) подставим данные в формулу:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$
Представим $q = -0,5$ в виде дроби $-\frac{1}{2}$ для удобства вычислений:
$b_6 = 16 \cdot (-\frac{1}{2})^5 = 16 \cdot (-\frac{1}{32}) = -\frac{16}{32} = -0,5$
Ответ: -0,5

3) $b_7$
Для нахождения седьмого члена прогрессии ($n=7$) подставим данные в формулу:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$
$b_7 = 16 \cdot (-\frac{1}{2})^6 = 16 \cdot (\frac{1}{64}) = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} = 0,25$
Ответ: 0,25

4) $b_{10}$
Для нахождения десятого члена прогрессии ($n=10$) подставим данные в формулу:
$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = b_1 \cdot q^9$
$b_{10} = 16 \cdot (-\frac{1}{2})^9 = 16 \cdot (-\frac{1}{512}) = -\frac{16}{512} = -\frac{1}{32}$
Ответ: -1/32

15.40. Для геометрической прогрессии $b_1 = 2$, $q = -2$ запишите первые пять членов и найдите значение их суммы.

Запишите первые пять членов
Дана геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 2$ и знаменатель $q = -2$.
Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Найдем первые пять членов последовательно:
Первый член: $b_1 = 2$.
Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot (-2) = -4$.
Третий член: $b_3 = b_1 \cdot q^2 = 2 \cdot (-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
Четвертый член: $b_4 = b_1 \cdot q^3 = 2 \cdot (-2)^3 = 2 \cdot (-8) = -16$.
Пятый член: $b_5 = b_1 \cdot q^4 = 2 \cdot (-2)^4 = 2 \cdot 16 = 32$.
Ответ: Первые пять членов прогрессии: 2, -4, 8, -16, 32.

Найдите значение их суммы
Сумму первых n членов геометрической прогрессии ($S_n$) находят по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Для нахождения суммы первых пяти членов ($n=5$) подставим в формулу известные значения $b_1=2$ и $q=-2$:
$S_5 = \frac{2 \cdot ((-2)^5 - 1)}{-2 - 1} = \frac{2 \cdot (-32 - 1)}{-3} = \frac{2 \cdot (-33)}{-3} = \frac{-66}{-3} = 22$.
Также сумму можно найти прямым сложением вычисленных членов:
$S_5 = 2 + (-4) + 8 + (-16) + 32 = 22$.
Ответ: 22.