Страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

16.20. Найдите число членов геометрической прогрессии 3; 6; 12; 24; ..., чтобы значение их суммы было:

1) больше 3066;

2) больше 6000.

Дана геометрическая прогрессия 3; 6; 12; 24; ... Найдем ее основные параметры.

Первый член прогрессии $b_1 = 3$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим в формулу известные значения $b_1 = 3$ и $q = 2$: $S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)$.

Теперь нам нужно найти наименьшее число членов $n$, для которого сумма $S_n$ будет удовлетворять заданным условиям.

1) больше 3066

Составим и решим неравенство, чтобы найти наименьшее натуральное $n$, при котором сумма $S_n$ будет больше 3066: $S_n > 3066$ $3(2^n - 1) > 3066$

Разделим обе части неравенства на 3: $2^n - 1 > 1022$

Прибавим 1 к обеим частям: $2^n > 1023$

Найдем наименьшую степень двойки, которая больше 1023. Мы знаем, что $2^{10} = 1024$. Так как $1024 > 1023$, а $2^9 = 512 < 1023$, то наименьшее натуральное значение $n$, удовлетворяющее неравенству, равно 10.

Проверим: Для $n=9$, $S_9 = 3(2^9 - 1) = 3(512 - 1) = 3 \cdot 511 = 1533$, что меньше 3066. Для $n=10$, $S_{10} = 3(2^{10} - 1) = 3(1024 - 1) = 3 \cdot 1023 = 3069$, что больше 3066.

Следовательно, необходимо взять как минимум 10 членов прогрессии.

Ответ: 10.

2) больше 6000

Составим и решим неравенство, чтобы найти наименьшее натуральное $n$, при котором сумма $S_n$ будет больше 6000: $S_n > 6000$ $3(2^n - 1) > 6000$

Разделим обе части неравенства на 3: $2^n - 1 > 2000$

Прибавим 1 к обеим частям: $2^n > 2001$

Найдем наименьшую степень двойки, которая больше 2001. $2^{10} = 1024$, что меньше 2001. $2^{11} = 2^{10} \cdot 2 = 1024 \cdot 2 = 2048$, что больше 2001. Следовательно, наименьшее натуральное значение $n$, удовлетворяющее неравенству, равно 11.

Проверим: Для $n=10$, $S_{10} = 3069$, что меньше 6000. Для $n=11$, $S_{11} = 3(2^{11} - 1) = 3(2048 - 1) = 3 \cdot 2047 = 6141$, что больше 6000.

Следовательно, необходимо взять как минимум 11 членов прогрессии.

Ответ: 11.

16.21. Значение суммы первых трех членов геометрической прогрессии равно 1,4, а значение их произведения равно 0,064.

Найдите $S_5$.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда первые три члена прогрессии равны $b_1$, $b_1q$ и $b_1q^2$.

Согласно условию задачи, сумма первых трех членов равна $1,4$, а их произведение равно $0,064$. Составим систему уравнений:

$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 1,4$

$b_1 \cdot b_1q \cdot b_1q^2 = 0,064$

Рассмотрим второе уравнение:

$b_1^3 q^3 = 0,064$

$(b_1q)^3 = (0,4)^3$

Отсюда следует, что второй член прогрессии $b_2 = b_1q = 0,4$.

Теперь выразим $b_1$ через $q$: $b_1 = \frac{0,4}{q}$. Подставим это выражение в первое уравнение системы, предварительно вынеся $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q + q^2) = 1,4$

$\frac{0,4}{q}(1 + q + q^2) = 1,4$

Разделим обе части уравнения на $0,4$:

$\frac{1 + q + q^2}{q} = \frac{1,4}{0,4} = 3,5$

$\frac{1}{q} + 1 + q = 3,5$

$\frac{1}{q} + q = 2,5$

Умножим обе части на $q$ (поскольку для геометрической прогрессии $q \neq 0$):

$1 + q^2 = 2,5q$

$q^2 - 2,5q + 1 = 0$

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим уравнение на 2:

$2q^2 - 5q + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

$q_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии. Это означает, что существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Найдем сумму первых пяти членов $S_5$ для каждого случая.

Случай 1: $q = 2$

Найдем первый член прогрессии: $b_1 = \frac{0,4}{q} = \frac{0,4}{2} = 0,2$.

Сумма первых пяти членов $S_5$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

$S_5 = \frac{0,2(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{0,2(32 - 1)}{1} = 0,2 \cdot 31 = 6,2$.

Случай 2: $q = 0,5$

Найдем первый член прогрессии: $b_1 = \frac{0,4}{q} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$.

Сумма первых пяти членов $S_5$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

$S_5 = \frac{0,8(1 - 0,5^5)}{1 - 0,5} = \frac{0,8(1 - \frac{1}{32})}{0,5} = \frac{0,8(\frac{31}{32})}{0,5} = 1,6 \cdot \frac{31}{32} = \frac{31}{20} = 1,55$.

Так как в условии задачи нет дополнительных ограничений, оба найденных значения являются решением.

Ответ: $6,2$ или $1,55$.

16.22. В геометрической прогрессии $b_n$ значение суммы первого и пятого членов равно 51, а значение суммы второго и шестого членов равно 102. Сколько членов этой прогрессии надо взять, чтобы значение их суммы было равно 3069?

Пусть $(b_n)$ – данная геометрическая прогрессия, $b_1$ – ее первый член, а $q$ – ее знаменатель.

По условию задачи, сумма первого и пятого членов равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Запишем эти условия в виде уравнений:

$b_1 + b_5 = 51$

$b_2 + b_6 = 102$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, перепишем эти уравнения:

$b_1 + b_1 q^4 = 51$

$b_1 q + b_1 q^5 = 102$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении, чтобы получить систему:

$b_1(1 + q^4) = 51$

$b_1 q(1 + q^4) = 102$

Разделим второе уравнение на первое. Так как правые части уравнений не равны нулю, то $b_1 \neq 0$ и $(1+q^4) \neq 0$, следовательно, такое деление возможно:

$\frac{b_1 q(1 + q^4)}{b_1(1 + q^4)} = \frac{102}{51}$

Отсюда находим знаменатель прогрессии:

$q = 2$

Теперь подставим найденное значение $q=2$ в первое уравнение, чтобы найти первый член прогрессии $b_1$:

$b_1(1 + 2^4) = 51$

$b_1(1 + 16) = 51$

$b_1 \cdot 17 = 51$

$b_1 = \frac{51}{17} = 3$

Итак, мы определили, что первый член прогрессии $b_1=3$ и ее знаменатель $q=2$.

Далее, необходимо найти, сколько членов этой прогрессии $n$ нужно взять, чтобы их сумма $S_n$ была равна 3069. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения $S_n=3069$, $b_1=3$ и $q=2$ в формулу:

$3069 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$

$3069 = 3(2^n - 1)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:

$2^n - 1 = \frac{3069}{3}$

$2^n - 1 = 1023$

$2^n = 1023 + 1$

$2^n = 1024$

Мы знаем, что $1024 = 2^{10}$. Следовательно:

$n = 10$

Таким образом, нужно взять 10 членов прогрессии, чтобы их сумма была равна 3069.

Ответ: 10

16.23. Найдите третий член геометрической прогрессии, если ее знаменатель равен 3, а значение суммы первых четырех ее членов равно (-40).

Обозначим члены геометрической прогрессии как $b_1, b_2, b_3, \dots$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи нам дано:

Знаменатель $q = 3$.

Сумма первых четырех членов $S_4 = -40$.

Требуется найти третий член прогрессии $b_3$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти первый член прогрессии $b_1$. Подставим в нее известные значения: $n=4$, $q=3$ и $S_4 = -40$.

$-40 = \frac{b_1(3^4 - 1)}{3 - 1}$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$-40 = \frac{b_1(81 - 1)}{2}$

$-40 = \frac{b_1 \cdot 80}{2}$

$-40 = b_1 \cdot 40$

Теперь найдем значение $b_1$:

$b_1 = \frac{-40}{40} = -1$

Зная первый член $b_1$ и знаменатель $q$, мы можем найти любой член прогрессии по формуле $n$-го члена:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Нам нужно найти третий член, то есть $b_3$. Подставим $n=3$ в формулу:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Подставим найденное значение $b_1 = -1$ и данное значение $q=3$:

$b_3 = -1 \cdot 3^2 = -1 \cdot 9 = -9$

Ответ: -9

16.24. 1) Найдите значение суммы членов геометрической прогрессии с 15 члена по 21 включительно, если $S_7 = 14$, $S_{14} = 18$.

2) В геометрической прогрессии с четным числом членов значение суммы всех ее членов в 3 раза больше значения суммы членов, стоящих на нечетных местах. Найдите знаменатель прогрессии.

1)

Пусть $(b_n)$ - данная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Сумма первых $n$ членов прогрессии вычисляется по формуле $S_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$ (при $q \neq 1$).

По условию задачи даны сумма первых 7 членов, $S_7 = 14$, и сумма первых 14 членов, $S_{14} = 18$.

Запишем формулы для этих сумм:

$S_7 = b_1 \frac{1-q^7}{1-q} = 14$

$S_{14} = b_1 \frac{1-q^{14}}{1-q} = 18$

Выразим $S_{14}$ через $S_7$, используя формулу разности квадратов для числителя: $1-q^{14} = (1-q^7)(1+q^7)$.

$S_{14} = b_1 \frac{(1-q^7)(1+q^7)}{1-q} = \left(b_1 \frac{1-q^7}{1-q}\right)(1+q^7) = S_7(1+q^7)$.

Подставим известные значения:

$18 = 14(1+q^7)$

Отсюда находим $(1+q^7)$:

$1+q^7 = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$

Теперь найдем $q^7$:

$q^7 = \frac{9}{7} - 1 = \frac{2}{7}$

Нам необходимо найти сумму членов с 15-го по 21-й включительно. Обозначим эту сумму как $S_{15-21}$.

$S_{15-21} = b_{15} + b_{16} + \dots + b_{21}$.

Эта сумма представляет собой сумму 7 членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_{15} = b_1 q^{14}$, а знаменатель равен $q$.

Сумму можно вычислить по формуле:

$S_{15-21} = b_{15} \frac{1-q^7}{1-q} = (b_1 q^{14}) \frac{1-q^7}{1-q} = q^{14} \left(b_1 \frac{1-q^7}{1-q}\right) = q^{14} S_7$.

Мы знаем, что $q^7 = \frac{2}{7}$, следовательно, $q^{14} = (q^7)^2 = \left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4}{49}$.

Теперь можем вычислить искомую сумму:

$S_{15-21} = \frac{4}{49} \cdot S_7 = \frac{4}{49} \cdot 14 = \frac{4 \cdot 14}{49} = \frac{56}{49} = \frac{8}{7}$.

Ответ: $\frac{8}{7}$

2)

Пусть в геометрической прогрессии четное число членов, $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Первый член прогрессии равен $b_1$, а знаменатель — $q$.

Сумма всех ее членов равна $S_{2k} = b_1 + b_2 + \dots + b_{2k}$.

Сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна $S_{нечет} = b_1 + b_3 + \dots + b_{2k-1}$.

Сумма членов, стоящих на четных местах, равна $S_{чет} = b_2 + b_4 + \dots + b_{2k}$.

Очевидно, что общая сумма равна сумме членов на четных и нечетных местах: $S_{2k} = S_{нечет} + S_{чет}$.

По условию задачи, сумма всех членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах:

$S_{2k} = 3 S_{нечет}$.

Приравняем два выражения для $S_{2k}$:

$S_{нечет} + S_{чет} = 3 S_{нечет}$

Отсюда получаем связь между суммой членов на четных и нечетных местах:

$S_{чет} = 2 S_{нечет}$.

Теперь выразим $S_{чет}$ через $S_{нечет}$ и знаменатель прогрессии $q$. Каждый член, стоящий на четном месте, получается умножением предыдущего члена (стоящего на нечетном месте) на $q$:

$b_2 = q b_1$

$b_4 = q b_3$

...

$b_{2k} = q b_{2k-1}$

Следовательно, сумма членов на четных местах может быть записана как:

$S_{чет} = b_2 + b_4 + \dots + b_{2k} = qb_1 + qb_3 + \dots + qb_{2k-1} = q(b_1 + b_3 + \dots + b_{2k-1}) = q S_{нечет}$.

Подставим это выражение в полученное ранее соотношение $S_{чет} = 2 S_{нечет}$:

$q S_{нечет} = 2 S_{нечет}$.

Если предположить, что прогрессия не является тривиальной (т.е. не все ее члены равны нулю), то сумма членов на нечетных местах $S_{нечет}$ не равна нулю. В этом случае мы можем разделить обе части равенства на $S_{нечет}$:

$q = 2$.

Ответ: $2$

16.25. Найдите значение суммы:

1) $2 + 22 + 222 + \dots + 222 \ 222 \ 222;$

2) $5 + 55 + 555 + \dots + 555 \ 555 \ 555;$

3) $8 + 88 + 888 + \dots + 888 \ 888 \ 888.$

1) Обозначим искомую сумму как $S_1 = 2 + 22 + 222 + \dots + 222\,222\,222$. Эта сумма состоит из 9 слагаемых, где каждое следующее слагаемое содержит на одну цифру '2' больше. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$S_1 = 2 \times (1 + 11 + 111 + \dots + 111\,111\,111)$.
Найдем сумму в скобках, обозначив её $A$. Эту сумму можно легко вычислить, представив сложение в столбик.Сумма цифр в разряде единиц будет $1 \times 9 = 9$.Сумма цифр в разряде десятков будет $1 \times 8 = 8$.Сумма в разряде сотен — $1 \times 7 = 7$, и так далее до разряда сотен миллионов, где сумма будет $1 \times 1 = 1$.Таким образом, $A = 123\,456\,789$.
Теперь вычислим исходную сумму:
$S_1 = 2 \times 123\,456\,789 = 246\,913\,578$.
Ответ: $246\,913\,578$.

2) Обозначим сумму как $S_2 = 5 + 55 + 555 + \dots + 555\,555\,555$. По аналогии с предыдущим пунктом, вынесем за скобки общий множитель 5:
$S_2 = 5 \times (1 + 11 + 111 + \dots + 111\,111\,111)$.
Сумма в скобках, как мы установили ранее, равна $123\,456\,789$.
Следовательно:
$S_2 = 5 \times 123\,456\,789 = 617\,283\,945$.
Ответ: $617\,283\,945$.

3) Обозначим сумму как $S_3 = 8 + 88 + 888 + \dots + 888\,888\,888$. Вынесем за скобки общий множитель 8:
$S_3 = 8 \times (1 + 11 + 111 + \dots + 111\,111\,111)$.
Сумма в скобках равна $123\,456\,789$.
Вычисляем итоговое значение:
$S_3 = 8 \times 123\,456\,789 = 987\,654\,312$.
Ответ: $987\,654\,312$.

*16.26. В возрастающей геометрической прогрессии первый член равен 1, а значение суммы первых ее пяти членов в 16 раз больше значения суммы обратных этим же членам чисел. Найдите значение суммы первых десяти членов этой прогрессии.

Пусть $b_n$ – возрастающая геометрическая прогрессия, $b_1$ – ее первый член, $q$ – ее знаменатель.

По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = 1$. Так как прогрессия является возрастающей, ее знаменатель $q > 1$.

Сумма первых пяти членов прогрессии $S_5$ находится по формуле суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

Для нашей прогрессии:$S_5 = \frac{1 \cdot (q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{q^5 - 1}{q - 1}$.

Рассмотрим последовательность чисел, обратных первым пяти членам данной прогрессии: $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \frac{1}{b_3}, \frac{1}{b_4}, \frac{1}{b_5}$. Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Обозначим ее как $c_n$.

Первый член этой новой прогрессии $c_1 = \frac{1}{b_1} = 1$.Знаменатель этой прогрессии $q' = \frac{c_2}{c_1} = \frac{1/b_2}{1/b_1} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{b_1}{b_1 q} = \frac{1}{q}$.

Сумма первых пяти членов этой новой прогрессии (то есть сумма обратных чисел) $S'_5$ равна:$S'_5 = \frac{c_1((q')^5 - 1)}{q' - 1} = \frac{1 \cdot ((\frac{1}{q})^5 - 1)}{\frac{1}{q} - 1} = \frac{\frac{1-q^5}{q^5}}{\frac{1-q}{q}} = \frac{1-q^5}{q^5} \cdot \frac{q}{1-q} = \frac{-(q^5-1)}{q^5} \cdot \frac{q}{-(q-1)} = \frac{q^5-1}{q^4(q-1)}$.

Согласно условию задачи, сумма первых пяти членов в 16 раз больше суммы обратных им чисел: $S_5 = 16 \cdot S'_5$.

Составим уравнение, подставив найденные выражения для $S_5$ и $S'_5$:$\frac{q^5 - 1}{q - 1} = 16 \cdot \frac{q^5 - 1}{q^4(q - 1)}$.

Поскольку $q > 1$, то $q-1 \neq 0$ и $q^5-1 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\frac{q^5 - 1}{q - 1}$:$1 = \frac{16}{q^4}$.

Отсюда следует, что $q^4 = 16$.Так как $q$ – действительное число и $q > 1$, единственное решение – это $q = 2$.

Теперь найдем сумму первых десяти членов исходной прогрессии $S_{10}$, зная что $b_1 = 1$ и $q = 2$.$S_{10} = \frac{b_1(q^{10} - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot (2^{10} - 1)}{2 - 1} = \frac{1024 - 1}{1} = 1023$.

Ответ: 1023.

*16.27.

1)

Три числа, значение суммы которых равно 15,6, являются первыми членами геометрической прогрессии и одновременно вторым, четырнадцатым и пятидесятым членами арифметической прогрессии. Найдите значение суммы первых шести членов геометрической прогрессии.

2)

Три числа, значение суммы которых равно 78, являются членами возрастающей геометрической прогрессии и одновременно первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите среди этих чисел большее.

3)

Найдите возрастающую арифметическую прогрессию, если известно, что значение суммы первых десяти ее членов равно 300, а первый, второй и пятый ее члены, кроме того, образуют геометрическую прогрессию.

1)Пусть три числа это $b_1, b_2, b_3$ — первые три члена геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда $b_2 = b_1q$ и $b_3 = b_1q^2$. По условию, их сумма равна 15,6:$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 15,6$Эти же три числа являются вторым, четырнадцатым и пятидесятым членами арифметической прогрессии. Пусть первый член этой прогрессии равен $a$, а разность равна $d$. Тогда:$b_1 = a_2 = a + d$$b_2 = a_{14} = a + 13d$$b_3 = a_{50} = a + 49d$Для членов геометрической прогрессии выполняется характеристическое свойство: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим выражения через $a$ и $d$:$(a + 13d)^2 = (a + d)(a + 49d)$$a^2 + 26ad + 169d^2 = a^2 + 49ad + ad + 49d^2$$a^2 + 26ad + 169d^2 = a^2 + 50ad + 49d^2$$169d^2 - 49d^2 = 50ad - 26ad$$120d^2 = 24ad$$120d^2 - 24ad = 0$$24d(5d - a) = 0$Это уравнение имеет два возможных решения: $d=0$ или $a=5d$. Рассмотрим оба случая.Случай 1: $d=0$.Арифметическая прогрессия является постоянной, то есть все ее члены равны $a$.Тогда $b_1 = a_2 = a$, $b_2 = a_{14} = a$, $b_3 = a_{50} = a$.Следовательно, $b_1 = b_2 = b_3$, и геометрическая прогрессия также является постоянной со знаменателем $q=1$.Сумма этих трех чисел равна $b_1 + b_1 + b_1 = 3b_1 = 15,6$.Отсюда $b_1 = 15,6 / 3 = 5,2$.Сумма первых шести членов этой геометрической прогрессии $S_6 = 6 \cdot b_1 = 6 \cdot 5,2 = 31,2$.Случай 2: $a=5d$ (при $d \neq 0$).Выразим члены геометрической прогрессии через $d$:$b_1 = a + d = 5d + d = 6d$$b_2 = a + 13d = 5d + 13d = 18d$$b_3 = a + 49d = 5d + 49d = 54d$Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{18d}{6d} = 3$.Сумма первых трех членов равна $6d + 18d + 54d = 78d$. По условию, $78d = 15,6$, откуда $d = \frac{15,6}{78} = 0,2$.Первый член геометрической прогрессии $b_1 = 6d = 6 \cdot 0,2 = 1,2$.Найдем сумму первых шести членов по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$:$S_6 = \frac{1,2(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{1,2(729 - 1)}{2} = 0,6 \cdot 728 = 436,8$.Так как в условии задачи нет ограничений, исключающих один из случаев, существует два возможных ответа.
Ответ: 31,2 или 436,8.

2)Пусть три числа, образующие возрастающую геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2, b_3$. Так как прогрессия возрастающая и их сумма (78) положительна, то первый член $b_1 > 0$ и знаменатель $q > 1$.Их сумма равна $b_1 + b_2 + b_3 = 78$.Эти числа также являются первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии. Обозначим ее первый член через $a$, а разность через $d$.$b_1 = a_1 = a$$b_2 = a_3 = a + 2d$$b_3 = a_9 = a + 8d$Так как геометрическая прогрессия возрастающая ($b_1 < b_2 < b_3$), то и члены арифметической прогрессии должны возрастать, следовательно, разность $d > 0$.Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$:$(a + 2d)^2 = a(a + 8d)$$a^2 + 4ad + 4d^2 = a^2 + 8ad$$4d^2 = 4ad$Поскольку $d > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $4d$:$d = a$.Теперь выразим три числа через $a$:$b_1 = a$$b_2 = a + 2a = 3a$$b_3 = a + 8a = 9a$Эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=3$.Их сумма равна $a + 3a + 9a = 13a$.По условию, $13a = 78$, откуда $a = \frac{78}{13} = 6$.Таким образом, искомые числа:$b_1 = 6$$b_2 = 3 \cdot 6 = 18$$b_3 = 9 \cdot 6 = 54$Наибольшее среди этих чисел — 54.
Ответ: 54.

3)Пусть $a_n$ — возрастающая арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Условие "возрастающая" означает, что $d > 0$.Сумма первых десяти членов прогрессии равна 300. Используем формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$:$S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 300$$(2a_1 + 9d) \cdot 5 = 300$$2a_1 + 9d = 60$. (1)Первый ($a_1$), второй ($a_2=a_1+d$) и пятый ($a_5=a_1+4d$) члены этой прогрессии образуют геометрическую прогрессию.По характеристическому свойству геометрической прогрессии:$(a_1 + d)^2 = a_1 (a_1 + 4d)$$a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 4a_1d$$d^2 = 2a_1d$$d^2 - 2a_1d = 0$$d(d - 2a_1) = 0$.Так как прогрессия возрастающая, $d>0$. Следовательно, множитель $d$ не равен нулю, и мы можем на него разделить. Остается $d - 2a_1 = 0$, откуда:$d = 2a_1$. (2)Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:1) $2a_1 + 9d = 60$2) $d = 2a_1$Подставим выражение для $d$ из второго уравнения в первое:$2a_1 + 9(2a_1) = 60$$2a_1 + 18a_1 = 60$$20a_1 = 60$$a_1 = 3$.Теперь найдем разность $d$ из второго уравнения:$d = 2a_1 = 2 \cdot 3 = 6$.Мы нашли первый член $a_1=3$ и разность $d=6$. Так как $d=6>0$, прогрессия действительно является возрастающей.Искомая прогрессия задается формулой $a_n = 3 + (n-1) \cdot 6$.
Ответ: Арифметическая прогрессия, у которой первый член равен 3, а разность равна 6.