Страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

17.3. Найдите значение суммы:

1) $1 - \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \dots$

2) $8 - 4 + 2 - 1 + 0,5 - \dots$

3) $100 - 10 + 1 - 0,1 + \dots$

1)

Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{3}{4}}{1} = -\frac{3}{4}$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} < 1$, данная прогрессия является сходящейся. Сумму такой прогрессии можно найти по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{1}{1 - (-\frac{3}{4})} = \frac{1}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{4}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$.

2)

Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 8$. Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, данная прогрессия является сходящейся. Сумму такой прогрессии можно найти по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{8}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{8}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{3}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$.

3)

Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 100$. Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{-10}{100} = -\frac{1}{10} = -0,1$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-0,1| = 0,1 < 1$, данная прогрессия является сходящейся. Сумму такой прогрессии можно найти по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{100}{1 - (-0,1)} = \frac{100}{1 + 0,1} = \frac{100}{1,1} = \frac{1000}{11}$.

Ответ: $\frac{1000}{11}$.

17.4. Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: 1) $0.\overline{3}$; 2) $14.\overline{17}$; 3) $2.\overline{126}$; 4) $3.\overline{71}$.

1) 0,(3)

Чтобы преобразовать чистую периодическую дробь в обыкновенную, нужно в числитель поставить период, а в знаменатель — число, состоящее из девяток, количество которых равно количеству цифр в периоде.

Однако, решим задачу алгебраическим методом. Пусть $x = 0,(3)$. Это означает $x = 0,333...$

Умножим обе части уравнения на 10, так как в периоде одна цифра:

$10x = 3,333...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 3,333... - 0,333...$

$9x = 3$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{3}{9}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

2) 14,(17)

Пусть $x = 14,(17)$, что означает $x = 14,171717...$

Это смешанная периодическая дробь. Период состоит из двух цифр (17). Умножим уравнение на $10^2 = 100$:

$100x = 1417,171717...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$100x - x = 1417,171717... - 14,171717...$

$99x = 1417 - 14$

$99x = 1403$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{1403}{99}$

Дробь несократимая. Ее можно представить в виде смешанного числа $14\frac{17}{99}$.

Ответ: $\frac{1403}{99}$

3) 2,(126)

Пусть $x = 2,(126)$, что означает $x = 2,126126126...$

Период дроби (126) состоит из трех цифр. Умножим уравнение на $10^3 = 1000$:

$1000x = 2126,126126...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$1000x - x = 2126,126126... - 2,126126...$

$999x = 2126 - 2$

$999x = 2124$

Найдем $x$:

$x = \frac{2124}{999}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя $(2+1+2+4=9)$ и знаменателя $(9+9+9=27)$ делятся на 9, поэтому дробь можно сократить на 9:

$2124 \div 9 = 236$

$999 \div 9 = 111$

Таким образом, $x = \frac{236}{111}$.

В виде смешанного числа это $2\frac{14}{111}$.

Ответ: $\frac{236}{111}$

4) 3,(71)

Пусть $x = 3,(71)$, что означает $x = 3,717171...$

Период дроби (71) состоит из двух цифр. Умножим уравнение на $10^2 = 100$:

$100x = 371,717171...$

Вычтем из этого уравнения исходное:

$100x - x = 371,717171... - 3,717171...$

$99x = 371 - 3$

$99x = 368$

Найдем $x$:

$x = \frac{368}{99}$

Дробь несократимая. В виде смешанного числа это $3\frac{71}{99}$.

Ответ: $\frac{368}{99}$

17.5. Найдите значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

1) $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; ...$

2) $\sqrt{3}; 1; \frac{1}{\sqrt{3}}; ...$

3) $\sqrt{2}; -1; \frac{1}{\sqrt{2}}; ...$

4) $\frac{3}{7}; -\frac{9}{49}; \frac{27}{343}; ...$

5) $3\sqrt{3}; -\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}; ...$

6) $5; -\sqrt{5}; 1; ...$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии, что $|q| < 1$.

1) В прогрессии $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; ...$ первый член $b_1 = \frac{1}{2}$. Найдем знаменатель прогрессии, разделив второй член на первый: $q = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$. Так как $|q| = \frac{2}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем её сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1/2}{1 - 2/3} = \frac{1/2}{1/3} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

2) В прогрессии $\sqrt{3}; 1; \frac{1}{\sqrt{3}}; ...$ первый член $b_1 = \sqrt{3}$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $|q| = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$, найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}-1} = \frac{3}{\sqrt{3}-1}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $S = \frac{3(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$.
Ответ: $\frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$.

3) В прогрессии $\sqrt{2}; -1; \frac{1}{\sqrt{2}}; ...$ первый член $b_1 = \sqrt{2}$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-1}{\sqrt{2}}$. Так как $|q| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$, найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{2}}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}} = \frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}+1} = \frac{2}{\sqrt{2}+1}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $S = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 2(\sqrt{2}-1)$.
Ответ: $2(\sqrt{2}-1)$.

4) В прогрессии $\frac{3}{7}; -\frac{9}{49}; \frac{27}{343}; ...$ первый член $b_1 = \frac{3}{7}$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-9/49}{3/7} = -\frac{9}{49} \cdot \frac{7}{3} = -\frac{3}{7}$. Так как $|q| = \frac{3}{7} < 1$, найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{3/7}{1 - (-3/7)} = \frac{3/7}{1 + 3/7} = \frac{3/7}{10/7} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

5) В прогрессии $3\sqrt{3}; -\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}; ...$ первый член $b_1 = 3\sqrt{3}$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = -\frac{1}{3}$. Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{3\sqrt{3}}{1 - (-1/3)} = \frac{3\sqrt{3}}{1 + 1/3} = \frac{3\sqrt{3}}{4/3} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $\frac{9\sqrt{3}}{4}$.

6) В прогрессии $5; -\sqrt{5}; 1; ...$ первый член $b_1 = 5$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-\sqrt{5}}{5}$. Так как $|q| = \frac{\sqrt{5}}{5} < 1$, найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{5}{1 - (-\frac{\sqrt{5}}{5})} = \frac{5}{1 + \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{5}{\frac{5+\sqrt{5}}{5}} = \frac{25}{5+\sqrt{5}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $S = \frac{25(5-\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} = \frac{25(5-\sqrt{5})}{25-5} = \frac{25(5-\sqrt{5})}{20} = \frac{5(5-\sqrt{5})}{4}$.
Ответ: $\frac{5(5-\sqrt{5})}{4}$.

17.6. Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь:

1) $3,2(3);$

2) $4,36(13);$

3) $21,00(12);$

4) $33,04(731).$

1) 3,2(3)

Чтобы преобразовать бесконечную периодическую дробь $3,2(3)$ в обыкновенную, обозначим это число через $x$.
$x = 3,2(3) = 3,2333...$
Умножим это уравнение на 10, чтобы часть после запятой стала чисто периодической дробью (то есть период начинался сразу после запятой):
$10x = 32,333...$
Теперь умножим это же уравнение на 100 (или предыдущее на 10), чтобы сдвинуть запятую на один период (состоящий из одной цифры) вправо:
$100x = 323,333...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части:
$100x - 10x = 323,333... - 32,333...$
$90x = 291$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{291}{90}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:
$x = \frac{291 \div 3}{90 \div 3} = \frac{97}{30}$
Эту неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа: $3\frac{7}{30}$.

Ответ: $\frac{97}{30}$

2) 4,36(13)

Обозначим число $4,36(13)$ через $x$.
$x = 4,36(13) = 4,36131313...$
В этой дроби есть непериодическая часть после запятой (36). Умножим уравнение на 100, чтобы период (13) начинался сразу после запятой:
$100x = 436,131313...$
Период состоит из двух цифр, поэтому умножим полученное уравнение еще на 100 (что эквивалентно умножению исходного уравнения на $10000$), чтобы сдвинуть запятую на один период вправо:
$10000x = 43613,131313...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$10000x - 100x = 43613,1313... - 436,1313...$
$9900x = 43177$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{43177}{9900}$
Данная дробь является несократимой. Можно представить ее в виде смешанного числа: $4\frac{3577}{9900}$.

Ответ: $\frac{43177}{9900}$

3) 21,00(12)

Обозначим число $21,00(12)$ через $x$.
$x = 21,00(12) = 21,00121212...$
Умножим уравнение на 100, чтобы избавиться от непериодической части (00) после запятой:
$100x = 2100,121212...$
Период (12) состоит из двух цифр, поэтому умножим полученное уравнение еще на 100, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо:
$10000x = 210012,121212...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$10000x - 100x = 210012,1212... - 2100,1212...$
$9900x = 207912$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{207912}{9900}$
Сократим дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 12.
$x = \frac{207912 \div 12}{9900 \div 12} = \frac{17326}{825}$
Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $21\frac{1}{825}$.

Ответ: $\frac{17326}{825}$

4) 33,04(731)

Обозначим число $33,04(731)$ через $x$.
$x = 33,04(731) = 33,04731731...$
Умножим уравнение на 100, так как непериодическая часть (04) состоит из двух цифр:
$100x = 3304,731731...$
Период (731) состоит из трех цифр, поэтому умножим полученное уравнение еще на 1000, чтобы сдвинуть запятую на один период вправо:
$100000x = 3304731,731731...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$100000x - 100x = 3304731,731... - 3304,731...$
$99900x = 3301427$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{3301427}{99900}$
Данная дробь является несократимой. Можно представить ее в виде смешанного числа: $33\frac{4727}{99900}$.

Ответ: $\frac{3301427}{99900}$

17.7.1) Найдите значение суммы бесконечной геометрической про- грессии, если ее второй член равен 9, а пятый член равен $ \frac{1}{3} $.

2) Найдите значение суммы бесконечной геометрической про- грессии, если ее третий член равен 25, а шестой член равен 0,2.

1)

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
По условию задачи даны второй и пятый члены прогрессии:
$b_2 = 9$
$b_5 = \frac{1}{3}$
Используя формулу n-го члена, запишем систему уравнений:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = 9$
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = \frac{1}{3}$
Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второе уравнение на первое:
$\frac{b_1 q^4}{b_1 q} = \frac{1/3}{9}$
$q^3 = \frac{1}{27}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$
Так как $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумма существует. Теперь найдем первый член $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение $b_1 \cdot q = 9$:
$b_1 \cdot \frac{1}{3} = 9$
$b_1 = 9 \cdot 3 = 27$
Сумма $S$ бесконечной геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим найденные значения $b_1$ и $q$:
$S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40,5$
Ответ: 40,5

2)

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. Формула для n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
По условию задачи даны третий и шестой члены прогрессии:
$b_3 = 25$
$b_6 = 0,2 = \frac{1}{5}$
Составим систему уравнений на основе формулы n-го члена:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = 25$
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = \frac{1}{5}$
Чтобы найти знаменатель $q$, разделим второе уравнение на первое:
$\frac{b_1 q^5}{b_1 q^2} = \frac{1/5}{25}$
$q^3 = \frac{1}{125}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$
Так как $|q| = |\frac{1}{5}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и можно найти ее сумму.
Найдем первый член $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение $b_1 \cdot q^2 = 25$:
$b_1 \cdot (\frac{1}{5})^2 = 25$
$b_1 \cdot \frac{1}{25} = 25$
$b_1 = 25 \cdot 25 = 625$
Сумма $S$ бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим найденные значения $b_1$ и $q$:
$S = \frac{625}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{625}{\frac{4}{5}} = 625 \cdot \frac{5}{4} = \frac{3125}{4} = 781,25$
Ответ: 781,25

17.8. В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами значение суммы первых трех ее членов равно 10,5, а значение суммы всех членов прогрессии равно 12. Найдите эту прогрессию.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Из условий задачи следует, что все члены прогрессии положительны ($b_n > 0$), значит $b_1 > 0$ и $q > 0$. Поскольку сумма всех членов конечна, прогрессия является бесконечно убывающей, следовательно, её знаменатель должен удовлетворять условию $|q| < 1$. Таким образом, мы ищем прогрессию, для которой $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$.

Сумма всех членов бесконечной геометрической прогрессии определяется формулой $S = \frac{b_1}{1-q}$. Сумма первых трех членов: $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1+q+q^2)$.

По условию, $S = 12$ и $S_3 = 10,5$. Составим систему уравнений:

1) $\frac{b_1}{1-q} = 12$

2) $b_1(1+q+q^2) = 10,5$

Из первого уравнения выразим $b_1 = 12(1-q)$ и подставим это выражение во второе уравнение:

$12(1-q)(1+q+q^2) = 10,5$

Воспользуемся формулой разности кубов $1-q^3 = (1-q)(1+q+q^2)$:

$12(1-q^3) = 10,5$

Теперь найдем $q$:

$1-q^3 = \frac{10,5}{12} = \frac{21/2}{12} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

$q^3 = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Полученное значение знаменателя $q = 1/2$ удовлетворяет условию $0 < q < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя выражение из первого уравнения:

$b_1 = 12(1-q) = 12(1 - \frac{1}{2}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

Первый член $b_1 = 6$ также удовлетворяет условию $b_1 > 0$.

Таким образом, прогрессия полностью определена: первый член равен 6, а знаменатель равен 1/2. Запишем несколько первых членов прогрессии: $b_1=6$, $b_2=6 \cdot \frac{1}{2}=3$, $b_3=3 \cdot \frac{1}{2}=1,5$. Проверка: $S_3 = 6+3+1,5 = 10,5$; $S = \frac{6}{1-1/2} = 12$. Условия выполнены.

Ответ: Искомая прогрессия имеет первый член $b_1=6$ и знаменатель $q=1/2$. Последовательность ее членов: $6; 3; 1,5; 0,75; \dots$

17.9.В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами значение суммы первых пяти членов равно $\frac{93}{16}$, а значение суммы всех членов прогрессии равно 6. Найдите эту прогрессию.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию задачи, все члены прогрессии положительны, что означает $b_1 > 0$ и $q > 0$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Условием сходимости является $|q| < 1$. Учитывая, что $q>0$, получаем условие $0 < q < 1$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии определяется формулой $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма всех членов прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q} = 6$.

2. Сумма первых пяти членов прогрессии: $S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{93}{16}$.

Для решения этой системы можно заметить, что выражение для $S_5$ можно переписать, используя выражение для $S$:

$S_5 = \frac{b_1}{1-q} \cdot (1-q^5) = S \cdot (1-q^5)$.

Подставим известные значения $S=6$ и $S_5 = \frac{93}{16}$ в это уравнение:

$\frac{93}{16} = 6 \cdot (1-q^5)$.

Теперь решим это уравнение, чтобы найти знаменатель $q$:

$1-q^5 = \frac{93}{16 \cdot 6} = \frac{93}{96}$.

Сократим дробь в правой части на 3:

$1-q^5 = \frac{31}{32}$.

Выразим $q^5$:

$q^5 = 1 - \frac{31}{32} = \frac{32}{32} - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$.

Отсюда находим $q$:

$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$.

Полученное значение $q = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < q < 1$.

Теперь, зная $q$, мы можем найти первый член прогрессии $b_1$ из первого уравнения системы:

$\frac{b_1}{1-q} = 6$.

$\frac{b_1}{1-\frac{1}{2}} = 6$.

$\frac{b_1}{\frac{1}{2}} = 6$.

$2b_1 = 6$.

$b_1 = 3$.

Таким образом, искомая прогрессия — это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Ответ: Искомая прогрессия определяется первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

17.10. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, если известно:

1) $q = -\frac{5}{8}$, $S = 80$;

2) $q = \frac{3}{7}$, $S = 42$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $S$ — сумма прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Эта формула применима, так как в обоих случаях $|q| < 1$.

Из этой формулы выразим первый член $b_1$:

$b_1 = S \cdot (1-q)$

1) Дано: $q = -\frac{5}{8}$, $S = 80$.

Подставим известные значения в формулу для нахождения $b_1$:

$b_1 = 80 \cdot (1 - (-\frac{5}{8})) = 80 \cdot (1 + \frac{5}{8}) = 80 \cdot (\frac{8}{8} + \frac{5}{8}) = 80 \cdot \frac{13}{8}$

$b_1 = \frac{80 \cdot 13}{8} = 10 \cdot 13 = 130$

Ответ: $130$

2) Дано: $q = \frac{3}{7}$, $S = 42$.

Подставим известные значения в формулу для нахождения $b_1$:

$b_1 = 42 \cdot (1 - \frac{3}{7}) = 42 \cdot (\frac{7}{7} - \frac{3}{7}) = 42 \cdot \frac{4}{7}$

$b_1 = \frac{42 \cdot 4}{7} = 6 \cdot 4 = 24$

Ответ: $24$