Номер 17.3, страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.3. Найдите значение суммы:

1) $1 - \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \dots$

2) $8 - 4 + 2 - 1 + 0,5 - \dots$

3) $100 - 10 + 1 - 0,1 + \dots$

1)

Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{3}{4}}{1} = -\frac{3}{4}$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} < 1$, данная прогрессия является сходящейся. Сумму такой прогрессии можно найти по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{1}{1 - (-\frac{3}{4})} = \frac{1}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{4}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$.

2)

Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 8$. Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, данная прогрессия является сходящейся. Сумму такой прогрессии можно найти по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{8}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{8}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{3}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$.

3)

Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 100$. Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{-10}{100} = -\frac{1}{10} = -0,1$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-0,1| = 0,1 < 1$, данная прогрессия является сходящейся. Сумму такой прогрессии можно найти по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{100}{1 - (-0,1)} = \frac{100}{1 + 0,1} = \frac{100}{1,1} = \frac{1000}{11}$.

Ответ: $\frac{1000}{11}$.