Номер 17.8, страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 17. Формула для вычисления значения суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Глава III. Последовательности. Часть 1 - номер 17.8, страница 154.

Условие рус.

17.8. В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами значение суммы первых трех ее членов равно 10,5, а значение суммы всех членов прогрессии равно 12. Найдите эту прогрессию.

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Из условий задачи следует, что все члены прогрессии положительны ($b_n > 0$), значит $b_1 > 0$ и $q > 0$. Поскольку сумма всех членов конечна, прогрессия является бесконечно убывающей, следовательно, её знаменатель должен удовлетворять условию $|q| < 1$. Таким образом, мы ищем прогрессию, для которой $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$.

Сумма всех членов бесконечной геометрической прогрессии определяется формулой $S = \frac{b_1}{1-q}$. Сумма первых трех членов: $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1+q+q^2)$.

По условию, $S = 12$ и $S_3 = 10,5$. Составим систему уравнений:

1) $\frac{b_1}{1-q} = 12$

2) $b_1(1+q+q^2) = 10,5$

Из первого уравнения выразим $b_1 = 12(1-q)$ и подставим это выражение во второе уравнение:

$12(1-q)(1+q+q^2) = 10,5$

Воспользуемся формулой разности кубов $1-q^3 = (1-q)(1+q+q^2)$:

$12(1-q^3) = 10,5$

Теперь найдем $q$:

$1-q^3 = \frac{10,5}{12} = \frac{21/2}{12} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

$q^3 = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Полученное значение знаменателя $q = 1/2$ удовлетворяет условию $0 < q < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя выражение из первого уравнения:

$b_1 = 12(1-q) = 12(1 - \frac{1}{2}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

Первый член $b_1 = 6$ также удовлетворяет условию $b_1 > 0$.

Таким образом, прогрессия полностью определена: первый член равен 6, а знаменатель равен 1/2. Запишем несколько первых членов прогрессии: $b_1=6$, $b_2=6 \cdot \frac{1}{2}=3$, $b_3=3 \cdot \frac{1}{2}=1,5$. Проверка: $S_3 = 6+3+1,5 = 10,5$; $S = \frac{6}{1-1/2} = 12$. Условия выполнены.

Ответ: Искомая прогрессия имеет первый член $b_1=6$ и знаменатель $q=1/2$. Последовательность ее членов: $6; 3; 1,5; 0,75; \dots$