Номер 17.5, страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 17. Формула для вычисления значения суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Глава III. Последовательности. Часть 1 - номер 17.5, страница 154.

Условие рус.

17.5. Найдите значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

1) $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; ...$

2) $\sqrt{3}; 1; \frac{1}{\sqrt{3}}; ...$

3) $\sqrt{2}; -1; \frac{1}{\sqrt{2}}; ...$

4) $\frac{3}{7}; -\frac{9}{49}; \frac{27}{343}; ...$

5) $3\sqrt{3}; -\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}; ...$

6) $5; -\sqrt{5}; 1; ...$

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии, что $|q| < 1$.

1) В прогрессии $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; ...$ первый член $b_1 = \frac{1}{2}$. Найдем знаменатель прогрессии, разделив второй член на первый: $q = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$. Так как $|q| = \frac{2}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем её сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1/2}{1 - 2/3} = \frac{1/2}{1/3} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

2) В прогрессии $\sqrt{3}; 1; \frac{1}{\sqrt{3}}; ...$ первый член $b_1 = \sqrt{3}$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $|q| = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$, найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}-1} = \frac{3}{\sqrt{3}-1}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $S = \frac{3(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$.
Ответ: $\frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$.

3) В прогрессии $\sqrt{2}; -1; \frac{1}{\sqrt{2}}; ...$ первый член $b_1 = \sqrt{2}$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-1}{\sqrt{2}}$. Так как $|q| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$, найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{2}}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}} = \frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}+1} = \frac{2}{\sqrt{2}+1}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $S = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 2(\sqrt{2}-1)$.
Ответ: $2(\sqrt{2}-1)$.

4) В прогрессии $\frac{3}{7}; -\frac{9}{49}; \frac{27}{343}; ...$ первый член $b_1 = \frac{3}{7}$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-9/49}{3/7} = -\frac{9}{49} \cdot \frac{7}{3} = -\frac{3}{7}$. Так как $|q| = \frac{3}{7} < 1$, найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{3/7}{1 - (-3/7)} = \frac{3/7}{1 + 3/7} = \frac{3/7}{10/7} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

5) В прогрессии $3\sqrt{3}; -\sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}; ...$ первый член $b_1 = 3\sqrt{3}$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = -\frac{1}{3}$. Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{3\sqrt{3}}{1 - (-1/3)} = \frac{3\sqrt{3}}{1 + 1/3} = \frac{3\sqrt{3}}{4/3} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $\frac{9\sqrt{3}}{4}$.

6) В прогрессии $5; -\sqrt{5}; 1; ...$ первый член $b_1 = 5$. Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-\sqrt{5}}{5}$. Так как $|q| = \frac{\sqrt{5}}{5} < 1$, найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{5}{1 - (-\frac{\sqrt{5}}{5})} = \frac{5}{1 + \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{5}{\frac{5+\sqrt{5}}{5}} = \frac{25}{5+\sqrt{5}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $S = \frac{25(5-\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} = \frac{25(5-\sqrt{5})}{25-5} = \frac{25(5-\sqrt{5})}{20} = \frac{5(5-\sqrt{5})}{4}$.
Ответ: $\frac{5(5-\sqrt{5})}{4}$.