Номер 17.9, страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.9.В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами значение суммы первых пяти членов равно $\frac{93}{16}$, а значение суммы всех членов прогрессии равно 6. Найдите эту прогрессию.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию задачи, все члены прогрессии положительны, что означает $b_1 > 0$ и $q > 0$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Условием сходимости является $|q| < 1$. Учитывая, что $q>0$, получаем условие $0 < q < 1$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии определяется формулой $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма всех членов прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q} = 6$.

2. Сумма первых пяти членов прогрессии: $S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{93}{16}$.

Для решения этой системы можно заметить, что выражение для $S_5$ можно переписать, используя выражение для $S$:

$S_5 = \frac{b_1}{1-q} \cdot (1-q^5) = S \cdot (1-q^5)$.

Подставим известные значения $S=6$ и $S_5 = \frac{93}{16}$ в это уравнение:

$\frac{93}{16} = 6 \cdot (1-q^5)$.

Теперь решим это уравнение, чтобы найти знаменатель $q$:

$1-q^5 = \frac{93}{16 \cdot 6} = \frac{93}{96}$.

Сократим дробь в правой части на 3:

$1-q^5 = \frac{31}{32}$.

Выразим $q^5$:

$q^5 = 1 - \frac{31}{32} = \frac{32}{32} - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$.

Отсюда находим $q$:

$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$.

Полученное значение $q = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < q < 1$.

Теперь, зная $q$, мы можем найти первый член прогрессии $b_1$ из первого уравнения системы:

$\frac{b_1}{1-q} = 6$.

$\frac{b_1}{1-\frac{1}{2}} = 6$.

$\frac{b_1}{\frac{1}{2}} = 6$.

$2b_1 = 6$.

$b_1 = 3$.

Таким образом, искомая прогрессия — это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Ответ: Искомая прогрессия определяется первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.