Номер 17.14, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.14. 1) Известно, что в бесконечно убывающей геометрической прогрессии каждый член в 2,5 раза больше суммы всех последующих членов. Найдите знаменатель прогрессии.

2) Известно, что в бесконечно убывающей геометрической прогрессии каждый член в 4 раза больше значения суммы всех последующих членов. Найдите знаменатель прогрессии.

1)

Пусть задана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ со знаменателем $q$. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ее знаменатель должен удовлетворять условию $|q| < 1$.

Рассмотрим произвольный член этой прогрессии $b_n$. Сумма всех последующих членов ($b_{n+1}, b_{n+2}, ...$) также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ее первый член равен $b_{n+1}$, а знаменатель тот же — $q$.

Сумму этой "остаточной" прогрессии, обозначим ее $S_{n+1}$, можно найти по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{a_1}{1-q}$:

$S_{n+1} = b_{n+1} + b_{n+2} + b_{n+3} + ... = \frac{b_{n+1}}{1-q}$

По условию задачи, каждый член в 2,5 раза больше суммы всех последующих членов. Запишем это условие для n-го члена:

$b_n = 2.5 \cdot S_{n+1}$

Подставим в это равенство выражение для $S_{n+1}$:

$b_n = 2.5 \cdot \frac{b_{n+1}}{1-q}$

Мы знаем, что для любой геометрической прогрессии справедливо соотношение $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Подставим его в наше уравнение:

$b_n = 2.5 \cdot \frac{b_n \cdot q}{1-q}$

Так как прогрессия не является стационарной (иначе условие не может выполняться для ненулевых членов), мы можем считать, что $b_n \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $b_n$:

$1 = 2.5 \cdot \frac{q}{1-q}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:

$1-q = 2.5q$

$1 = 2.5q + q$

$1 = 3.5q$

$q = \frac{1}{3.5} = \frac{1}{7/2} = \frac{2}{7}$

Полученное значение знаменателя $q = \frac{2}{7}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$, так как $|\frac{2}{7}| < 1$. Следовательно, это и есть искомый знаменатель.

Ответ: $q = \frac{2}{7}$.

2)

Данная задача решается аналогично предыдущей. Пусть $b_n$ — n-ый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель, где $|q| < 1$.

Сумма всех членов, следующих за $b_n$, равна $S_{n+1} = \frac{b_{n+1}}{1-q}$.

По условию, каждый член в 4 раза больше значения суммы всех последующих членов. Запишем это математически:

$b_n = 4 \cdot S_{n+1}$

Подставляя выражение для суммы и соотношение $b_{n+1} = b_n \cdot q$, получаем:

$b_n = 4 \cdot \frac{b_n \cdot q}{1-q}$

Предполагая, что $b_n \neq 0$, сокращаем обе части на $b_n$:

$1 = 4 \cdot \frac{q}{1-q}$

Решаем уравнение для нахождения $q$:

$1-q = 4q$

$1 = 4q + q$

$1 = 5q$

$q = \frac{1}{5}$

Проверяем, удовлетворяет ли найденное значение условию бесконечно убывающей прогрессии: $|\frac{1}{5}| < 1$. Условие выполняется.

Ответ: $q = \frac{1}{5}$.