Номер 17.18, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.18. Дан равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 16 см. Из его высот построен другой треугольник, а из высот этого треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры этих треугольников образуют бесконечную геометрическую прогрессию, и найдите значение суммы периметров этих треугольников.

Пусть $T_1, T_2, T_3, \dots, T_n, \dots$ - последовательность равносторонних треугольников, построенных согласно условию задачи.

Обозначим через $a_n$ длину стороны треугольника $T_n$, а через $P_n$ - его периметр.

По условию, сторона первого треугольника $a_1 = 16$ см.

Доказательство того, что периметры образуют геометрическую прогрессию

Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $P = 3a$.
Следовательно, периметр первого треугольника $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 16 = 48$ см.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ может быть найдена через теорему Пифагора или через тригонометрические функции. Углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$.
$h = a \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По условию, сторона следующего треугольника $a_{n+1}$ равна высоте предыдущего треугольника $h_n$.
Таким образом, $a_{n+1} = h_n = a_n \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это означает, что последовательность длин сторон треугольников $a_1, a_2, a_3, \dots$ образует геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим отношение периметров двух последовательных треугольников:
$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{3a_{n+1}}{3a_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Так как $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то и $\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это доказывает, что последовательность периметров $P_1, P_2, P_3, \dots$ также является геометрической прогрессией с тем же знаменателем $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку знаменатель прогрессии $|q| = |\frac{\sqrt{3}}{2}| \approx \frac{1.732}{2} = 0.866 < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Доказано, что последовательность периметров является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нахождение значения суммы периметров этих треугольников

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
$S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

В нашем случае, $b_1 = P_1 = 48$ см, а $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения в формулу:
$S = \frac{48}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{48}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{48 \cdot 2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{96}{2 - \sqrt{3}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:
$S = \frac{96(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{96(2 + \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{96(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = \frac{96(2 + \sqrt{3})}{1} = 96(2 + \sqrt{3})$.

Таким образом, сумма периметров всех треугольников равна $96(2 + \sqrt{3})$ см или $192 + 96\sqrt{3}$ см.

Ответ: $96(2 + \sqrt{3})$ см.