Номер 17.17, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.17. В равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 8 см, вписан другой равносторонний треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. В полученный треугольник таким же способом вписан другой равносторонний треугольник и т. д. Найдите значение суммы периметров и значение суммы площадей этих треугольников.

В задаче рассматривается бесконечная последовательность вписанных друг в друга равносторонних треугольников. Пусть сторона первого треугольника $T_1$ равна $a_1$. Вершины второго треугольника $T_2$ являются серединами сторон $T_1$. Это означает, что сторона треугольника $T_2$ является средней линией треугольника $T_1$. Длина средней линии равна половине параллельной ей стороны, поэтому сторона $T_2$ равна $a_2 = a_1/2$. Аналогично, сторона третьего треугольника $T_3$ будет равна $a_3 = a_2/2 = a_1/4$, и так далее. Мы имеем дело с геометрическими прогрессиями для сторон, периметров и площадей.

Значение суммы периметров

Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $P=3a$.

Для первого треугольника $T_1$ сторона $a_1 = 8$ см, значит, его периметр $P_1 = 3 \cdot 8 = 24$ см.

Для второго треугольника $T_2$ сторона $a_2 = a_1/2 = 8/2 = 4$ см, а его периметр $P_2 = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Для третьего треугольника $T_3$ сторона $a_3 = a_2/2 = 4/2 = 2$ см, а его периметр $P_3 = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Последовательность периметров $24, 12, 6, \dots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член $b_1 = P_1 = 24$, а знаменатель $q = \frac{P_2}{P_1} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Найдем сумму периметров:

$S_P = \frac{24}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{24}{\frac{1}{2}} = 24 \cdot 2 = 48$ см.

Ответ: 48 см.

Значение суммы площадей

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Для первого треугольника $T_1$ со стороной $a_1 = 8$ см площадь равна $S_1 = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см².

Так как сторона каждого следующего треугольника в 2 раза меньше стороны предыдущего ($a_{n+1} = a_n/2$), то их площади соотносятся как $S_{n+1} = \frac{(a_{n+1})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(a_n/2)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a_n^2/4 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{1}{4} S_n$.

Последовательность площадей $16\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, \sqrt{3}, \dots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член $c_1 = S_1 = 16\sqrt{3}$, а знаменатель $r = \frac{1}{4}$.

Найдем сумму площадей по формуле $S = \frac{c_1}{1-r}$:

$S_A = \frac{16\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{16\sqrt{3}}{\frac{3}{4}} = 16\sqrt{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}$ см².

Ответ: $ \frac{64\sqrt{3}}{3} $ см².