Номер 17.20, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.20. Первый член бесконечной геометрической прогрессии на $8$ больше второго, а значение суммы ее членов равно $18$. Найдите четвертый член этой прогрессии.

Обозначим первый член бесконечной геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. Для сходящейся бесконечной геометрической прогрессии должно выполняться условие $|q| < 1$.

Второй член прогрессии равен $b_2 = b_1q$.Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$

Согласно условию задачи, первый член на 8 больше второго:$b_1 = b_2 + 8$Подставим выражение для второго члена:$b_1 = b_1q + 8$Перенесем слагаемое с $q$ в левую часть и вынесем $b_1$ за скобки:$b_1 - b_1q = 8$$b_1(1-q) = 8$

Также по условию, сумма членов прогрессии равна 18:$S = \frac{b_1}{1-q} = 18$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} b_1(1-q) = 8 \\ \frac{b_1}{1-q} = 18 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b_1$:$b_1 = 18(1-q)$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:$18(1-q)(1-q) = 8$$18(1-q)^2 = 8$$(1-q)^2 = \frac{8}{18}$Сократим дробь:$(1-q)^2 = \frac{4}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:$1-q = \sqrt{\frac{4}{9}}$ или $1-q = -\sqrt{\frac{4}{9}}$$1-q = \frac{2}{3}$ или $1-q = -\frac{2}{3}$

Рассмотрим оба случая:1) $1-q = \frac{2}{3}$$q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$Это значение удовлетворяет условию $|q|<1$, так как $|\frac{1}{3}| < 1$.2) $1-q = -\frac{2}{3}$$q = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$Это значение не удовлетворяет условию $|q|<1$, так как $|\frac{5}{3}| > 1$. При таком знаменателе прогрессия является возрастающей, и ее сумма не может быть конечным числом.

Следовательно, единственно возможный знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем первый член прогрессии, используя выражение $b_1 = 18(1-q)$:$b_1 = 18\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$

Нам нужно найти четвертый член этой прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1q^{n-1}$.Для $n=4$:$b_4 = b_1q^{4-1} = b_1q^3$

Подставим найденные значения $b_1=12$ и $q=\frac{1}{3}$:$b_4 = 12 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 12 \cdot \frac{1}{27} = \frac{12}{27}$

Сократим полученную дробь на 3:$b_4 = \frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$