Страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

17.19. Найдите значение суммы: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{8} - \frac{1}{27} + \dots$

Представленная сумма является бесконечным числовым рядом. Для нахождения его значения, разобьем ряд на две части, сгруппировав слагаемые по определенному признаку.

Заметим, что знаменатели слагаемых являются степенями чисел 2 и 3. Сгруппируем члены ряда в две последовательности.

Первая последовательность состоит из членов, знаменатели которых являются степенями двойки:$S_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \dots$Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Ее первый член $b_1 = \frac{1}{2}$, а знаменатель $q_1$ можно найти как отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{-1/4}{1/2} = -\frac{1}{2}$.Поскольку модуль знаменателя $|q_1| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, ряд сходится. Сумму такой прогрессии можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.$S_1 = \frac{\frac{1}{2}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}$.

Вторая последовательность состоит из членов, знаменатели которых являются степенями тройки:$S_2 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{27} - \dots$Вынесем знак минус за скобки: $S_2 = -(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots)$.Выражение в скобках также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ее первый член $c_1 = \frac{1}{3}$, а знаменатель $q_2 = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$.Поскольку $|q_2| = \frac{1}{3} < 1$, этот ряд также сходится.Найдем сумму прогрессии в скобках:$S' = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$.Тогда сумма второй последовательности равна $S_2 = -S' = -\frac{1}{2}$.

Так как исходный ряд является абсолютно сходящимся (сумма модулей его членов конечна), его сумма равна сумме двух полученных подрядов.

Общая сумма $S$ равна:$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{3} + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$.Приводя к общему знаменателю, получаем:$S = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

17.20. Первый член бесконечной геометрической прогрессии на $8$ больше второго, а значение суммы ее членов равно $18$. Найдите четвертый член этой прогрессии.

Обозначим первый член бесконечной геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. Для сходящейся бесконечной геометрической прогрессии должно выполняться условие $|q| < 1$.

Второй член прогрессии равен $b_2 = b_1q$.Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$

Согласно условию задачи, первый член на 8 больше второго:$b_1 = b_2 + 8$Подставим выражение для второго члена:$b_1 = b_1q + 8$Перенесем слагаемое с $q$ в левую часть и вынесем $b_1$ за скобки:$b_1 - b_1q = 8$$b_1(1-q) = 8$

Также по условию, сумма членов прогрессии равна 18:$S = \frac{b_1}{1-q} = 18$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} b_1(1-q) = 8 \\ \frac{b_1}{1-q} = 18 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b_1$:$b_1 = 18(1-q)$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:$18(1-q)(1-q) = 8$$18(1-q)^2 = 8$$(1-q)^2 = \frac{8}{18}$Сократим дробь:$(1-q)^2 = \frac{4}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:$1-q = \sqrt{\frac{4}{9}}$ или $1-q = -\sqrt{\frac{4}{9}}$$1-q = \frac{2}{3}$ или $1-q = -\frac{2}{3}$

Рассмотрим оба случая:1) $1-q = \frac{2}{3}$$q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$Это значение удовлетворяет условию $|q|<1$, так как $|\frac{1}{3}| < 1$.2) $1-q = -\frac{2}{3}$$q = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$Это значение не удовлетворяет условию $|q|<1$, так как $|\frac{5}{3}| > 1$. При таком знаменателе прогрессия является возрастающей, и ее сумма не может быть конечным числом.

Следовательно, единственно возможный знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем первый член прогрессии, используя выражение $b_1 = 18(1-q)$:$b_1 = 18\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$

Нам нужно найти четвертый член этой прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1q^{n-1}$.Для $n=4$:$b_4 = b_1q^{4-1} = b_1q^3$

Подставим найденные значения $b_1=12$ и $q=\frac{1}{3}$:$b_4 = 12 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 12 \cdot \frac{1}{27} = \frac{12}{27}$

Сократим полученную дробь на 3:$b_4 = \frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

17.21. В равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 16 см, вписан круг. В этот круг вписан равносторонний треугольник, в этот треугольник вписан круг и т. д. Найдите значение суммы площадей вписанных кругов.

Эта задача сводится к нахождению суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Членами этой прогрессии являются площади последовательно вписанных кругов. Сумма $S$ такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($|q| < 1$).

1. Найдем площадь первого вписанного круга ($S_1$)

Радиус $r$ круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной $a$, определяется формулой:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Сторона первого треугольника $a_1 = 16$ см. Тогда радиус первого вписанного круга $r_1$ равен:$r_1 = \frac{16}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см.

Площадь этого круга $S_1$ (первый член нашей прогрессии) равна:$S_1 = \pi r_1^2 = \pi \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{64\pi}{3}$ см$^2$.

2. Найдем знаменатель геометрической прогрессии ($q$)

Рассмотрим произвольный шаг этого процесса. Пусть имеется круг радиуса $R$. В него вписан равносторонний треугольник. Радиус $R$ является радиусом описанной окружности для этого треугольника. Сторона такого треугольника $a_{след}$ связана с $R$ соотношением:$a_{след} = R\sqrt{3}$

В этот треугольник со стороной $a_{след}$ вписывается новый круг радиусом $r$. Его радиус вычисляется по формуле:$r = \frac{a_{след}}{2\sqrt{3}}$

Подставим выражение для $a_{след}$ в эту формулу, чтобы найти связь между радиусами $R$ и $r$:$r = \frac{R\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{R}{2}$

Это означает, что радиус каждого следующего круга в 2 раза меньше радиуса предыдущего. Знаменатель прогрессии $q$ — это отношение площадей двух последовательных кругов:$q = \frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \left(\frac{r}{R}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

3. Найдем сумму площадей всех вписанных кругов

Теперь, зная первый член $S_1 = \frac{64\pi}{3}$ и знаменатель $q = \frac{1}{4}$, мы можем найти сумму всех площадей:$S = \frac{S_1}{1-q} = \frac{\frac{64\pi}{3}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{64\pi}{3}}{\frac{3}{4}}$

$S = \frac{64\pi}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{256\pi}{9}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{256\pi}{9}$ см$^2$.

17.22. Первый член бесконечной геометрической прогрессии ($c_n$) равен $c$, а знаменатель равен $q$. Найдите значение суммы:

1) $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + \dots$;

2) $(c_1 + c_2)^2 + (c_3 + c_4)^2 + (c_5 + c_6)^2 + \dots$;

3) $c_1^3 + c_2^3 + c_3^3 + \dots$;

4) $(c_1 - c_2)^2 + (c_3 - c_4)^2 + (c_5 - c_6)^2 + \dots$.

Исходная последовательность $(c_n)$ является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом $c_1 = c$ и знаменателем $q$. Общий член прогрессии имеет вид $c_n = c \cdot q^{n-1}$. Для того чтобы суммы бесконечных рядов сходились, необходимо, чтобы знаменатель соответствующей прогрессии был по модулю меньше единицы. Для исходной прогрессии это означает $|q| < 1$. Это условие мы будем считать выполненным для всех заданий.

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1-Q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $Q$ — её знаменатель ($|Q| < 1$).

1) $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + \dots$

Рассмотрим последовательность, членами которой являются квадраты членов исходной прогрессии: $c_1^2, c_2^2, c_3^2, \dots$.
Выразим члены новой последовательности через $c$ и $q$:
Первый член: $b_1 = c_1^2 = c^2$.
Второй член: $b_2 = c_2^2 = (cq)^2 = c^2q^2$.
Третий член: $b_3 = c_3^2 = (cq^2)^2 = c^2q^4$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как отношение любого члена к предыдущему постоянно:
$Q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c^2q^2}{c^2} = q^2$.
Так как по условию $|q| < 1$, то и $|Q| = |q^2| = |q|^2 < 1$. Следовательно, эта прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле:
$S = \frac{b_1}{1-Q} = \frac{c^2}{1-q^2}$.
Ответ: $\frac{c^2}{1-q^2}$

2) $(c_1 + c_2)^2 + (c_3 + c_4)^2 + (c_5 + c_6)^2 + \dots$

Рассмотрим последовательность, членами которой являются слагаемые данного ряда.
Найдем первый член $b_1$:
$b_1 = (c_1 + c_2)^2 = (c + cq)^2 = (c(1+q))^2 = c^2(1+q)^2$.
Найдем второй член $b_2$:
$b_2 = (c_3 + c_4)^2 = (cq^2 + cq^3)^2 = (cq^2(1+q))^2 = c^2q^4(1+q)^2$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией. Найдем ее знаменатель $Q$:
$Q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c^2q^4(1+q)^2}{c^2(1+q)^2} = q^4$.
Поскольку $|q| < 1$, то $|Q| = |q^4| = |q|^4 < 1$. Значит, ряд сходится.
Найдем его сумму:
$S = \frac{b_1}{1-Q} = \frac{c^2(1+q)^2}{1-q^4}$.
Знаменатель можно разложить на множители: $1-q^4 = (1-q^2)(1+q^2) = (1-q)(1+q)(1+q^2)$.
$S = \frac{c^2(1+q)^2}{(1-q)(1+q)(1+q^2)} = \frac{c^2(1+q)}{(1-q)(1+q^2)}$.
Ответ: $\frac{c^2(1+q)}{(1-q)(1+q^2)}$

3) $c_1^3 + c_2^3 + c_3^3 + \dots$

Рассмотрим последовательность, членами которой являются кубы членов исходной прогрессии: $c_1^3, c_2^3, c_3^3, \dots$.
Выразим члены новой последовательности через $c$ и $q$:
Первый член: $b_1 = c_1^3 = c^3$.
Второй член: $b_2 = c_2^3 = (cq)^3 = c^3q^3$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем:
$Q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c^3q^3}{c^3} = q^3$.
Так как $|q| < 1$, то $|Q| = |q^3| = |q|^3 < 1$. Прогрессия сходится.
Ее сумма равна:
$S = \frac{b_1}{1-Q} = \frac{c^3}{1-q^3}$.
Ответ: $\frac{c^3}{1-q^3}$

4) $(c_1 - c_2)^2 + (c_3 - c_4)^2 + (c_5 - c_6)^2 + \dots$

Рассмотрим последовательность, членами которой являются слагаемые данного ряда.
Найдем первый член $b_1$:
$b_1 = (c_1 - c_2)^2 = (c - cq)^2 = (c(1-q))^2 = c^2(1-q)^2$.
Найдем второй член $b_2$:
$b_2 = (c_3 - c_4)^2 = (cq^2 - cq^3)^2 = (cq^2(1-q))^2 = c^2q^4(1-q)^2$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией. Найдем ее знаменатель $Q$:
$Q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c^2q^4(1-q)^2}{c^2(1-q)^2} = q^4$.
Поскольку $|q| < 1$, то $|Q| = |q^4| = |q|^4 < 1$. Ряд сходится.
Найдем его сумму:
$S = \frac{b_1}{1-Q} = \frac{c^2(1-q)^2}{1-q^4}$.
Разложим знаменатель на множители: $1-q^4 = (1-q)(1+q)(1+q^2)$.
$S = \frac{c^2(1-q)^2}{(1-q)(1+q)(1+q^2)} = \frac{c^2(1-q)}{(1+q)(1+q^2)}$.
Ответ: $\frac{c^2(1-q)}{(1+q)(1+q^2)}$

17.23. Найдите корень уравнения:

$1 + \frac{x+1}{x-1} + \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2 + \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^3 + \dots = \frac{x^2}{2}$.

17.23. Левая часть данного уравнения представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$, а ее знаменатель $q = \frac{x+1}{x-1}$.

Сумма такой прогрессии существует (сходится) только при условии, что модуль ее знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Найдем область допустимых значений для $x$, решив это неравенство:

$|\frac{x+1}{x-1}| < 1$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x+1}{x-1} < 1 \\ \frac{x+1}{x-1} > -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\frac{x+1}{x-1} - 1 < 0 \implies \frac{x+1 - (x-1)}{x-1} < 0 \implies \frac{2}{x-1} < 0$. Так как числитель положителен, знаменатель должен быть отрицательным: $x-1 < 0$, откуда $x < 1$.

Решим второе неравенство: $\frac{x+1}{x-1} + 1 > 0 \implies \frac{x+1 + x-1}{x-1} > 0 \implies \frac{2x}{x-1} > 0$. Это неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Пересечение решений обоих неравенств ($x < 1$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$) дает нам итоговую область сходимости ряда: $x < 0$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. В нашем случае:

$S = \frac{1}{1 - \frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{\frac{x-1 - (x+1)}{x-1}} = \frac{1}{\frac{-2}{x-1}} = \frac{x-1}{-2} = \frac{1-x}{2}$.

Теперь приравняем полученную сумму к правой части исходного уравнения:

$\frac{1-x}{2} = \frac{x^2}{2}$

Умножим обе части на 2 и получим квадратное уравнение:

$1-x = x^2$

$x^2 + x - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения по формуле корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

Проверим найденные корни на соответствие области допустимых значений $x < 0$.

Корень $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} > 0$, так как $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$. Этот корень является посторонним.

Корень $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < 0$, так как является суммой двух отрицательных чисел. Этот корень удовлетворяет условию.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

17.24. Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен 1, а каждый ее последующий член в три раза больше значения суммы следующих за ним членов.

Пусть искомая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $(b_n)$ имеет первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

По условию задачи, первый член прогрессии равен 1, то есть $b_1 = 1$.

Так как прогрессия является бесконечно убывающей, ее знаменатель $q$ должен удовлетворять условию $|q| < 1$.

Основное условие задачи гласит, что каждый член прогрессии в три раза больше значения суммы всех следующих за ним членов. Запишем это условие для произвольного $k$-го члена прогрессии, $b_k$.

Сумма членов, следующих за $b_k$, представляет собой сумму $S_k^* = b_{k+1} + b_{k+2} + b_{k+3} + \dots$. Эта сумма является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_{k+1}$, а знаменатель равен $q$.

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{a_1}{1-r}$, где $a_1$ — первый член, $r$ — знаменатель.

Применяя эту формулу, находим сумму членов, следующих за $b_k$:$S_k^* = \frac{b_{k+1}}{1-q}$

Согласно условию задачи, $b_k = 3 \cdot S_k^*$. Подставим в это равенство выражение для $S_k^*$:$b_k = 3 \cdot \frac{b_{k+1}}{1-q}$

Для любой геометрической прогрессии справедливо соотношение $b_{k+1} = b_k \cdot q$. Подставим его в наше уравнение:$b_k = 3 \cdot \frac{b_k \cdot q}{1-q}$

Поскольку $b_1 = 1$ и прогрессия является убывающей, ее члены не равны нулю ($b_k \neq 0$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $b_k$:$1 = \frac{3q}{1-q}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:$1 \cdot (1-q) = 3q$$1 - q = 3q$$1 = 4q$$q = \frac{1}{4}$

Полученное значение знаменателя $q = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$, так как $|\frac{1}{4}| < 1$. Следовательно, прогрессия с таким знаменателем является бесконечно убывающей.

Таким образом, мы нашли знаменатель искомой прогрессии. Первый член нам известен из условия: $b_1=1$. Теперь мы можем полностью описать прогрессию.

Ее члены:$b_1 = 1$$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 1 \cdot (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 1 \cdot (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$и так далее.

Общая формула для $n$-го члена прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1} = (\frac{1}{4})^{n-1}$.

Ответ: Искомая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = \frac{1}{4}$. Ее члены задаются формулой $b_n = (\frac{1}{4})^{n-1}$, то есть это последовательность $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \dots$.

17.25. Найдите значение суммы: $\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{1}{9} + \frac{9}{16} + \frac{1}{27} + \frac{27}{64} + \dots$

Заданный ряд можно представить как сумму двух бесконечных геометрических прогрессий. Перегруппируем его члены:

$S = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \dots\right)$

Обозначим первую сумму в скобках как $S_1$. Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = \frac{1}{3}$ и знаменатель $q_1 = \frac{1}{3}$. Поскольку модуль знаменателя $|q_1| = \frac{1}{3} < 1$, прогрессия является сходящейся. Ее сумма вычисляется по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Найдем сумму $S_1$:

$S_1 = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$.

Обозначим вторую сумму в скобках как $S_2$. Это также бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_2 = \frac{3}{4}$ и знаменатель $q_2 = \frac{3}{4}$. Поскольку модуль знаменателя $|q_2| = \frac{3}{4} < 1$, эта прогрессия также является сходящейся.

Найдем сумму $S_2$:

$S_2 = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3$.

Общая сумма ряда равна сумме $S_1$ и $S_2$.

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + 3 = 3,5$.

Ответ: $3,5$.

17.26. Решите уравнение: $x^{-2} + x^{-4} + \dots + x^{-2(n-1)} + \dots = \frac{1}{8}$

Левая часть данного уравнения представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Первый член этой прогрессии $b_1 = x^{-2}$.

Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{x^{-4}}{x^{-2}} = x^{-2}$.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Эта формула применима только при условии, что модуль знаменателя прогрессии меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В нашем случае условие сходимости имеет вид: $|x^{-2}| < 1$. Это равносильно неравенству $|\frac{1}{x^2}| < 1$. Поскольку $x^2$ является неотрицательной величиной (и не может быть равен нулю, так как $x$ в знаменателе), это неравенство можно записать как $\frac{1}{x^2} < 1$, что влечет за собой $x^2 > 1$, или $|x| > 1$.

Согласно условию задачи, сумма прогрессии равна $\frac{1}{8}$. Подставим известные значения в формулу суммы:

$\frac{x^{-2}}{1 - x^{-2}} = \frac{1}{8}$

Для удобства решения введем замену $y = x^{-2}$. Уравнение примет вид:

$\frac{y}{1 - y} = \frac{1}{8}$

Решим это уравнение относительно $y$, используя свойство пропорции:

$8y = 1(1 - y)$

$8y = 1 - y$

$9y = 1$

$y = \frac{1}{9}$

Теперь выполним обратную замену:

$x^{-2} = \frac{1}{9}$

Это можно записать как:

$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{9}$

Отсюда следует, что $x^2 = 9$.

Из последнего уравнения находим два корня:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Осталось проверить, удовлетворяют ли найденные решения условию сходимости $|x| > 1$.

Для $x = 3$: $|3| = 3 > 1$. Условие выполняется.

Для $x = -3$: $|-3| = 3 > 1$. Условие также выполняется.

Оба корня удовлетворяют условию, следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm 3$.

17.27. Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($b_n$), у которой второй член равен 6, а значение суммы ее членов равно $\frac{1}{8}$ от значения суммы квадратов ее членов.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$, а $q$ — её знаменатель. По определению, для бесконечно убывающей геометрической прогрессии выполняется условие $|q| < 1$.

По условию задачи, второй член прогрессии равен 6. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Таким образом, для второго члена имеем $b_2 = b_1 \cdot q$. Получаем первое уравнение: $b_1 \cdot q = 6$.

Сумма $S$ всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Рассмотрим последовательность квадратов членов данной прогрессии: $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \ldots$. Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Её первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Поскольку $|q| < 1$, то и $|q^2| = |q|^2 < 1$, следовательно, эта новая прогрессия также является бесконечно убывающей.

Сумма $S_{sq}$ этой новой прогрессии (суммы квадратов) равна: $S_{sq} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$.

По условию задачи, значение суммы ее членов равно $\frac{1}{8}$ от значения суммы квадратов ее членов, то есть $S = \frac{1}{8} S_{sq}$. Подставим формулы для $S$ и $S_{sq}$:

$\frac{b_1}{1-q} = \frac{1}{8} \cdot \frac{b_1^2}{1-q^2}$.

Так как $b_1$ (первый член) не может быть равен нулю (иначе вся прогрессия состояла бы из нулей и $b_2$ не был бы равен 6), мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$:

$\frac{1}{1-q} = \frac{b_1}{8(1-q^2)}$.

Используем формулу разности квадратов $1-q^2 = (1-q)(1+q)$:

$\frac{1}{1-q} = \frac{b_1}{8(1-q)(1+q)}$.

Так как $|q| < 1$, то $1-q \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $(1-q)$:

$1 = \frac{b_1}{8(1+q)}$, откуда получаем второе соотношение: $b_1 = 8(1+q)$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $b_1 \cdot q = 6$ и $b_1 = 8(1+q)$. Подставим выражение для $b_1$ из второго уравнения в первое:

$8(1+q) \cdot q = 6$

$8q + 8q^2 = 6$

$8q^2 + 8q - 6 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$4q^2 + 4q - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

Корни уравнения: $q_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4+8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ и $q_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4-8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $|q| < 1$.

Для $q_1 = \frac{1}{2}$: $|\frac{1}{2}| < 1$. Этот корень подходит.

Для $q_2 = -\frac{3}{2}$: $|-\frac{3}{2}| = \frac{3}{2} > 1$. Этот корень не является решением задачи, так как прогрессия не будет бесконечно убывающей.

Следовательно, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$ из уравнения $b_1 \cdot q = 6$:

$b_1 \cdot \frac{1}{2} = 6$, откуда $b_1 = 6 \cdot 2 = 12$.

Ответ: первый член равен 12, знаменатель равен $\frac{1}{2}$.

17.28. Последовательность чисел образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, значение суммы членов которой равно 8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии, если значение суммы кубов ее членов равно $ \frac{512}{37} $.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению бесконечно убывающей геометрической прогрессии, модуль её знаменателя должен быть меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Сумма $S$ всех членов такой прогрессии вычисляется по формуле:$S = \frac{b_1}{1-q}$

Согласно условию задачи, эта сумма равна 8. Запишем первое уравнение:$8 = \frac{b_1}{1-q}$ (1)

Теперь рассмотрим последовательность, состоящую из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \ldots$ . Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Её первый член $B_1 = b_1^3$, а её знаменатель $Q = \frac{(b_1q)^3}{b_1^3} = q^3$.Поскольку $|q| < 1$, то и $|Q| = |q^3| = |q|^3 < 1$. Следовательно, новая прогрессия также является бесконечно убывающей.

Сумма $S_{куб}$ этой новой прогрессии вычисляется по аналогичной формуле:$S_{куб} = \frac{B_1}{1-Q} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$

По условию, сумма кубов равна $\frac{512}{37}$. Запишем второе уравнение:$\frac{512}{37} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} 8 = \frac{b_1}{1-q} \\ \frac{512}{37} = \frac{b_1^3}{1-q^3} \end{cases}$

Из уравнения (1) выразим $b_1$:$b_1 = 8(1-q)$

Подставим это выражение для $b_1$ в уравнение (2):$\frac{512}{37} = \frac{(8(1-q))^3}{1-q^3} = \frac{8^3(1-q)^3}{1-q^3} = \frac{512(1-q)^3}{1-q^3}$

Разделим обе части уравнения на 512 (это возможно, так как $512 \neq 0$):$\frac{1}{37} = \frac{(1-q)^3}{1-q^3}$

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для знаменателя правой части:$\frac{1}{37} = \frac{(1-q)^3}{(1-q)(1+q+q^2)}$

Поскольку $|q|<1$, то $q \neq 1$, и мы можем сократить дробь на $(1-q)$:$\frac{1}{37} = \frac{(1-q)^2}{1+q+q^2}$

Раскроем скобки и воспользуемся свойством пропорции:$1 \cdot (1+q+q^2) = 37 \cdot (1-q)^2$$1+q+q^2 = 37(1-2q+q^2)$$1+q+q^2 = 37-74q+37q^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$37q^2 - q^2 - 74q - q + 37 - 1 = 0$$36q^2 - 75q + 36 = 0$

Для удобства разделим все коэффициенты на 3:$12q^2 - 25q + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2$

Найдем корни:$q_1 = \frac{-(-25) - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{25 - 7}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$q_2 = \frac{-(-25) + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{25 + 7}{24} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$

Вспоминаем условие $|q|<1$. Корень $q_2 = \frac{4}{3}$ не подходит, так как $|\frac{4}{3}| > 1$. Корень $q_1 = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условию, так как $|\frac{3}{4}| < 1$.Таким образом, знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{4}$.

Теперь найдем первый член $b_1$, подставив значение $q$ в выражение $b_1 = 8(1-q)$:$b_1 = 8(1 - \frac{3}{4}) = 8(\frac{4-3}{4}) = 8(\frac{1}{4}) = 2$

Ответ: первый член прогрессии равен 2, знаменатель прогрессии равен $\frac{3}{4}$.