Страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

18.6. Подберите формулу для нахождения значения суммы и докажите методом математической индукции, что она верна для всех натуральных чисел:

1) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + \ldots + n (3n - 1);$

2) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + n (3n + 1).$

1) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + \dots + n(3n - 1)$

Сначала подберем формулу для суммы $S_n = \sum_{k=1}^{n} k(3k - 1)$. Для этого представим общий член суммы в виде многочлена и воспользуемся известными формулами для сумм степеней натуральных чисел: $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ и $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 - k) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$

$S_n = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{n(n+1)}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{n(n+1)}{2}$:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} ((2n+1) - 1) = \frac{n(n+1)}{2} \cdot 2n = n^2(n+1)$

Итак, предполагаемая формула: $S_n = n^2(n+1)$.

Теперь докажем эту формулу методом математической индукции.

1. Базис индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

Левая часть: $S_1 = 1 \cdot (3 \cdot 1 - 1) = 1 \cdot 2 = 2$.

Правая часть: $1^2(1+1) = 1 \cdot 2 = 2$.

Равенство верно, базис индукции выполнен.

2. Индукционный переход.

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть:

$S_k = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + \dots + k(3k - 1) = k^2(k+1)$.

Докажем, что формула верна и для следующего числа $k+1$, то есть:

$S_{k+1} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + \dots + k(3k - 1) + (k+1)(3(k+1)-1) = (k+1)^2((k+1)+1) = (k+1)^2(k+2)$.

Рассмотрим левую часть равенства для $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = S_k + (k+1)(3(k+1)-1)$.

Используя предположение индукции, заменим $S_k$ на $k^2(k+1)$:

$S_{k+1} = k^2(k+1) + (k+1)(3k+3-1) = k^2(k+1) + (k+1)(3k+2)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)$:

$S_{k+1} = (k+1)(k^2 + (3k+2)) = (k+1)(k^2+3k+2)$.

Разложим квадратный трехчлен $k^2+3k+2$ на множители. Его корни $k=-1$ и $k=-2$, поэтому $k^2+3k+2 = (k+1)(k+2)$.

$S_{k+1} = (k+1)(k+1)(k+2) = (k+1)^2(k+2)$.

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: $1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + \dots + n(3n - 1) = n^2(n+1)$.

2) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1)$

Аналогично первому пункту, найдем формулу для суммы $S_n = \sum_{k=1}^{n} k(3k + 1)$.

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + k) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$S_n = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{n(n+1)}{2}$:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} ((2n+1) + 1) = \frac{n(n+1)}{2} \cdot (2n+2) = \frac{n(n+1) \cdot 2(n+1)}{2} = n(n+1)^2$.

Предполагаемая формула: $S_n = n(n+1)^2$.

Докажем эту формулу методом математической индукции.

1. Базис индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

Левая часть: $S_1 = 1 \cdot (3 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 4 = 4$.

Правая часть: $1 \cdot (1+1)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4$.

Равенство верно, базис индукции выполнен.

2. Индукционный переход.

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть:

$S_k = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k + 1) = k(k+1)^2$.

Докажем, что формула верна и для $k+1$, то есть:

$S_{k+1} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k + 1) + (k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)((k+1)+1)^2 = (k+1)(k+2)^2$.

Рассмотрим левую часть равенства для $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = S_k + (k+1)(3(k+1)+1)$.

Используя предположение индукции:

$S_{k+1} = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+3+1) = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)$:

$S_{k+1} = (k+1)(k(k+1) + (3k+4)) = (k+1)(k^2+k+3k+4) = (k+1)(k^2+4k+4)$.

Выражение в скобках $k^2+4k+4$ является полным квадратом: $(k+2)^2$.

$S_{k+1} = (k+1)(k+2)^2$.

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n+1)^2$.

18.7. Методом математической индукции докажите, что для всех натуральных чисел:

1) $7^n - 6 \cdot 2^n$ делится на 5;

2) $7^n + 3 \cdot 3^n$ делится на 4;

3) $15^n + 6$ делится на 7;

4) $9^n + 3$ делится на 4.

1) Докажем методом математической индукции, что выражение $7^n - 6 \cdot 2^n$ делится на 5 для всех натуральных $n$.
База индукции ($n=1$):
При $n=1$ имеем: $7^1 - 6 \cdot 2^1 = 7 - 12 = -5$.
Число -5 делится на 5. Утверждение верно для $n=1$.
Индукционное предположение ($n=k$):
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $7^k - 6 \cdot 2^k$ делится на 5.
Индукционный шаг ($n=k+1$):
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что выражение $7^{k+1} - 6 \cdot 2^{k+1}$ делится на 5.
Преобразуем выражение для $n=k+1$:
$7^{k+1} - 6 \cdot 2^{k+1} = 7 \cdot 7^k - 6 \cdot 2 \cdot 2^k = 7 \cdot 7^k - 12 \cdot 2^k$.
Выделим в выражении часть, соответствующую индукционному предположению:
$7 \cdot 7^k - 12 \cdot 2^k = 7 \cdot (7^k - 6 \cdot 2^k) + 7 \cdot 6 \cdot 2^k - 12 \cdot 2^k$
$= 7(7^k - 6 \cdot 2^k) + 42 \cdot 2^k - 12 \cdot 2^k$
$= 7(7^k - 6 \cdot 2^k) + 30 \cdot 2^k$.
Первое слагаемое, $7(7^k - 6 \cdot 2^k)$, делится на 5, так как по индукционному предположению выражение в скобках $7^k - 6 \cdot 2^k$ делится на 5. Второе слагаемое, $30 \cdot 2^k = 5 \cdot 6 \cdot 2^k$, также делится на 5. Сумма двух чисел, делящихся на 5, также делится на 5.
Следовательно, выражение $7^{k+1} - 6 \cdot 2^{k+1}$ делится на 5.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Доказано.

2) Докажем методом математической индукции, что выражение $7^n + 3 \cdot 3^n$ делится на 4 для всех натуральных $n$.
База индукции ($n=1$):
При $n=1$ имеем: $7^1 + 3 \cdot 3^1 = 7 + 9 = 16$.
Число 16 делится на 4. Утверждение верно для $n=1$.
Индукционное предположение ($n=k$):
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $7^k + 3 \cdot 3^k$ делится на 4.
Индукционный шаг ($n=k+1$):
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что выражение $7^{k+1} + 3 \cdot 3^{k+1}$ делится на 4.
Преобразуем выражение для $n=k+1$:
$7^{k+1} + 3 \cdot 3^{k+1} = 7 \cdot 7^k + 3 \cdot 3 \cdot 3^k = 7 \cdot 7^k + 9 \cdot 3^k$.
Выделим в выражении часть, соответствующую индукционному предположению:
$7 \cdot 7^k + 9 \cdot 3^k = 7 \cdot (7^k + 3 \cdot 3^k) - 7 \cdot 3 \cdot 3^k + 9 \cdot 3^k$
$= 7(7^k + 3 \cdot 3^k) - 21 \cdot 3^k + 9 \cdot 3^k$
$= 7(7^k + 3 \cdot 3^k) - 12 \cdot 3^k$.
Первое слагаемое, $7(7^k + 3 \cdot 3^k)$, делится на 4, так как по индукционному предположению выражение в скобках $7^k + 3 \cdot 3^k$ делится на 4. Второе слагаемое, $-12 \cdot 3^k = -4 \cdot 3 \cdot 3^k$, также делится на 4. Разность двух чисел, делящихся на 4, также делится на 4.
Следовательно, выражение $7^{k+1} + 3 \cdot 3^{k+1}$ делится на 4.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Доказано.

3) Докажем методом математической индукции, что выражение $15^n + 6$ делится на 7 для всех натуральных $n$.
База индукции ($n=1$):
При $n=1$ имеем: $15^1 + 6 = 21$.
Число 21 делится на 7. Утверждение верно для $n=1$.
Индукционное предположение ($n=k$):
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $15^k + 6$ делится на 7.
Индукционный шаг ($n=k+1$):
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что выражение $15^{k+1} + 6$ делится на 7.
Преобразуем выражение для $n=k+1$:
$15^{k+1} + 6 = 15 \cdot 15^k + 6$.
Выделим в выражении часть, соответствующую индукционному предположению:
$15 \cdot 15^k + 6 = 15 \cdot (15^k + 6) - 15 \cdot 6 + 6$
$= 15(15^k + 6) - 90 + 6$
$= 15(15^k + 6) - 84$.
Первое слагаемое, $15(15^k + 6)$, делится на 7, так как по индукционному предположению выражение в скобках $15^k + 6$ делится на 7. Второе слагаемое, $-84 = -7 \cdot 12$, также делится на 7. Разность двух чисел, делящихся на 7, также делится на 7.
Следовательно, выражение $15^{k+1} + 6$ делится на 7.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Доказано.

4) Докажем методом математической индукции, что выражение $9^n + 3$ делится на 4 для всех натуральных $n$.
База индукции ($n=1$):
При $n=1$ имеем: $9^1 + 3 = 12$.
Число 12 делится на 4. Утверждение верно для $n=1$.
Индукционное предположение ($n=k$):
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $9^k + 3$ делится на 4.
Индукционный шаг ($n=k+1$):
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что выражение $9^{k+1} + 3$ делится на 4.
Преобразуем выражение для $n=k+1$:
$9^{k+1} + 3 = 9 \cdot 9^k + 3$.
Выделим в выражении часть, соответствующую индукционному предположению:
$9 \cdot 9^k + 3 = 9 \cdot (9^k + 3) - 9 \cdot 3 + 3$
$= 9(9^k + 3) - 27 + 3$
$= 9(9^k + 3) - 24$.
Первое слагаемое, $9(9^k + 3)$, делится на 4, так как по индукционному предположению выражение в скобках $9^k + 3$ делится на 4. Второе слагаемое, $-24 = -4 \cdot 6$, также делится на 4. Разность двух чисел, делящихся на 4, также делится на 4.
Следовательно, выражение $9^{k+1} + 3$ делится на 4.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Доказано.

18.8. Найдите значение суммы:

1) $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)};$

2) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(3n - 2)(3n + 1)}.$

1)

Для нахождения значения суммы воспользуемся методом телескопического суммирования. Общий член суммы имеет вид $a_k = \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$.

Сначала представим дробь $\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$ в виде суммы двух простейших дробей:

$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{A}{2k - 1} + \frac{B}{2k + 1}$

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

$1 = A(2k + 1) + B(2k - 1)$

Для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ подставим значения $k$, которые обращают в ноль знаменатели:

Если $k = \frac{1}{2}$, то $1 = A(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.

Если $k = -\frac{1}{2}$, то $1 = B(2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 1) \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, общий член суммы можно записать как:

$a_k = \frac{1/2}{2k - 1} - \frac{1/2}{2k + 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Теперь запишем всю сумму, используя это разложение:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Распишем несколько первых и последнее слагаемое суммы:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]$

В этой сумме все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{3}$ и $+\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{5}$ и $+\frac{1}{5}$, и так далее. Остаются только первое слагаемое из первой скобки и последнее слагаемое из последней скобки.

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и упростим:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}$

Ответ: $\frac{n}{2n+1}$.

2)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Общий член суммы имеет вид $a_k = \frac{1}{(3k - 2)(3k + 1)}$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$.

Разложим дробь на простейшие:

$\frac{1}{(3k - 2)(3k + 1)} = \frac{A}{3k - 2} + \frac{B}{3k + 1}$

Приводя к общему знаменателю, имеем:

$1 = A(3k + 1) + B(3k - 2)$

Найдем коэффициенты $A$ и $B$:

Если $k = \frac{2}{3}$, то $1 = A(3 \cdot \frac{2}{3} + 1) \Rightarrow 1 = 3A \Rightarrow A = \frac{1}{3}$.

Если $k = -\frac{1}{3}$, то $1 = B(3 \cdot (-\frac{1}{3}) - 2) \Rightarrow 1 = -3B \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$.

Следовательно, общий член суммы равен:

$a_k = \frac{1/3}{3k - 2} - \frac{1/3}{3k + 1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k - 2} - \frac{1}{3k + 1} \right)$

Запишем исходную сумму с помощью этого разложения:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k - 2} - \frac{1}{3k + 1} \right) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k - 2} - \frac{1}{3k + 1} \right)$

Распишем слагаемые этой телескопической суммы:

$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right) + \dots + \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right) \right]$

Все внутренние члены суммы сокращаются. Остаются первый и последний члены:

$S_n = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right)$

Упростим выражение:

$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1-1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3n}{3n+1} = \frac{n}{3n+1}$

Ответ: $\frac{n}{3n+1}$.

18.9. Докажите, что при любом $n \in N$ выполняется равенство:

1) $1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \dots + n (2n + 1) = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$;

2) $2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 8 + \dots + (n + 1)(3n - 1) = \frac{n(2n^2 + 5n + 1)}{2}.

1) Докажем данное равенство $1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + \dots + n(2n + 1) = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$ методом математической индукции.
Пусть $P(n)$ — утверждение, что данное равенство верно для натурального числа $n$.
1. База индукции.
Проверим справедливость утверждения для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot (2 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 3 = 3$.
Правая часть: $\frac{1(1+1)(4 \cdot 1 + 5)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 9}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
Так как левая и правая части равны, $P(1)$ истинно.
2. Индукционное предположение.
Предположим, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого натурального числа $k \ge 1$.
То есть, $1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + \dots + k(2k+1) = \frac{k(k+1)(4k+5)}{6}$.
3. Индукционный переход.
Докажем, что утверждение $P(k+1)$ также истинно. Нам нужно доказать, что:
$1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + \dots + k(2k+1) + (k+1)(2(k+1)+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)(4(k+1)+5)}{6}$.
Рассмотрим левую часть этого равенства. Используя индукционное предположение, мы можем заменить сумму первых $k$ слагаемых:
$S_{k+1} = (1 \cdot 3 + \dots + k(2k+1)) + (k+1)(2(k+1)+1) = \frac{k(k+1)(4k+5)}{6} + (k+1)(2k+3)$.
Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки:
$S_{k+1} = (k+1) \left( \frac{k(4k+5)}{6} + (2k+3) \right)$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$S_{k+1} = (k+1) \left( \frac{4k^2+5k}{6} + \frac{6(2k+3)}{6} \right) = (k+1) \left( \frac{4k^2+5k+12k+18}{6} \right) = \frac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}$.
Теперь преобразуем правую часть равенства для $P(k+1)$:
$\frac{(k+1)(k+2)(4(k+1)+5)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}$.
Разложим на множители многочлен в числителе полученного выражения для $S_{k+1}$: $4k^2+17k+18$. Его корни можно найти, например, решив квадратное уравнение $4k^2+17k+18=0$. Дискриминант $D = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot 18 = 289 - 288 = 1$. Корни: $k_{1,2} = \frac{-17 \pm 1}{8}$, то есть $k_1 = -2$ и $k_2 = -\frac{16}{8} = -2.25 = -\frac{9}{4}$. Тогда $4k^2+17k+18 = 4(k+2)(k+\frac{9}{4}) = (k+2)(4k+9)$.
Подставим это разложение обратно в выражение для $S_{k+1}$:
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}$.
Мы видим, что полученное выражение совпадает с правой частью равенства для $P(k+1)$.
Таким образом, мы доказали, что если $P(k)$ истинно, то $P(k+1)$ также истинно. По принципу математической индукции, равенство верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем данное равенство $2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 8 + \dots + (n+1)(3n-1) = \frac{n(2n^2+5n+1)}{2}$ методом математической индукции.
Пусть $P(n)$ — утверждение, что данное равенство верно для натурального числа $n$.
1. База индукции.
Проверим справедливость утверждения для $n=1$.
Левая часть: $(1+1)(3 \cdot 1 - 1) = 2 \cdot 2 = 4$.
Правая часть: $\frac{1(2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 + 1)}{2} = \frac{1(2+5+1)}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Так как левая и правая части равны, $P(1)$ истинно.
2. Индукционное предположение.
Предположим, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого натурального числа $k \ge 1$.
То есть, $2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + \dots + (k+1)(3k-1) = \frac{k(2k^2+5k+1)}{2}$.
3. Индукционный переход.
Докажем, что утверждение $P(k+1)$ также истинно. Нам нужно доказать, что:
$2 \cdot 2 + \dots + (k+1)(3k-1) + ((k+1)+1)(3(k+1)-1) = \frac{(k+1)(2(k+1)^2+5(k+1)+1)}{2}$.
Рассмотрим левую часть этого равенства. Используя индукционное предположение, мы можем заменить сумму первых $k$ слагаемых:
$S_{k+1} = \left( 2 \cdot 2 + \dots + (k+1)(3k-1) \right) + (k+2)(3k+2) = \frac{k(2k^2+5k+1)}{2} + (k+2)(3k+2)$.
Приведем к общему знаменателю и преобразуем:
$S_{k+1} = \frac{k(2k^2+5k+1) + 2(k+2)(3k+2)}{2} = \frac{(2k^3+5k^2+k) + 2(3k^2+2k+6k+4)}{2}$.
$S_{k+1} = \frac{2k^3+5k^2+k + 2(3k^2+8k+4)}{2} = \frac{2k^3+5k^2+k+6k^2+16k+8}{2} = \frac{2k^3+11k^2+17k+8}{2}$.
Теперь преобразуем правую часть равенства для $P(k+1)$:
$\frac{(k+1)(2(k+1)^2+5(k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(2(k^2+2k+1)+5k+5+1)}{2} = \frac{(k+1)(2k^2+4k+2+5k+6)}{2} = \frac{(k+1)(2k^2+9k+8)}{2}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(k+1)(2k^2+9k+8) = k(2k^2+9k+8) + 1(2k^2+9k+8) = 2k^3+9k^2+8k+2k^2+9k+8 = 2k^3+11k^2+17k+8$.
Таким образом, числитель правой части равен $2k^3+11k^2+17k+8$, что совпадает с числителем, полученным для $S_{k+1}$.
Мы показали, что $S_{k+1} = \frac{2k^3+11k^2+17k+8}{2} = \frac{(k+1)(2(k+1)^2+5(k+1)+1)}{2}$.
Индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, равенство верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Равенство доказано.

18.10. Методом математической индукции докажите, что при четном $n \in N$:

1) $7^n - 5^n$ делится на 24;

2) $5^n - 3^n$ делится на 16.

1) Докажем, что при любом четном натуральном $n$ выражение $7^n - 5^n$ делится на 24.

Поскольку $n$ — четное натуральное число, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k \in N$. Будем доказывать по индукции для $k \ge 1$, что $7^{2k} - 5^{2k}$ делится на 24.

База индукции: при $k=1$ (что соответствует $n=2$) имеем:

$7^{2 \cdot 1} - 5^{2 \cdot 1} = 7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24$.

Число 24 делится на 24, следовательно, база индукции верна.

Индукционное предположение: предположим, что для некоторого натурального $k$ утверждение верно, то есть $(7^{2k} - 5^{2k})$ делится на 24. Это значит, что существует целое число $m$ такое, что $7^{2k} - 5^{2k} = 24m$.

Индукционный шаг: докажем, что утверждение верно для $k+1$, то есть что $(7^{2(k+1)} - 5^{2(k+1)})$ делится на 24. Преобразуем выражение:

$7^{2(k+1)} - 5^{2(k+1)} = 7^{2k+2} - 5^{2k+2} = 49 \cdot 7^{2k} - 25 \cdot 5^{2k}$.

Представим $49$ как $24+25$ и сгруппируем слагаемые:

$(24+25) \cdot 7^{2k} - 25 \cdot 5^{2k} = 24 \cdot 7^{2k} + 25 \cdot 7^{2k} - 25 \cdot 5^{2k} = 24 \cdot 7^{2k} + 25(7^{2k} - 5^{2k})$.

Первое слагаемое $24 \cdot 7^{2k}$ очевидно делится на 24. Второе слагаемое $25(7^{2k} - 5^{2k})$ делится на 24, так как по индукционному предположению $(7^{2k} - 5^{2k})$ делится на 24. Сумма двух выражений, делящихся на 24, также делится на 24.

Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $k$, а значит, и для любого четного натурального $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что при любом четном натуральном $n$ выражение $5^n - 3^n$ делится на 16.

Пусть $n=2k$, где $k \in N$. Будем доказывать по индукции для $k \ge 1$, что $5^{2k} - 3^{2k}$ делится на 16.

База индукции: при $k=1$ (что соответствует $n=2$) имеем:

$5^{2 \cdot 1} - 3^{2 \cdot 1} = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$.

Число 16 делится на 16, следовательно, база индукции верна.

Индукционное предположение: предположим, что для некоторого натурального $k$ утверждение верно, то есть $(5^{2k} - 3^{2k})$ делится на 16. Это значит, что существует целое число $m$ такое, что $5^{2k} - 3^{2k} = 16m$.

Индукционный шаг: докажем, что утверждение верно для $k+1$, то есть что $(5^{2(k+1)} - 3^{2(k+1)})$ делится на 16. Преобразуем выражение:

$5^{2(k+1)} - 3^{2(k+1)} = 5^{2k+2} - 3^{2k+2} = 25 \cdot 5^{2k} - 9 \cdot 3^{2k}$.

Представим $25$ как $16+9$ и сгруппируем слагаемые:

$(16+9) \cdot 5^{2k} - 9 \cdot 3^{2k} = 16 \cdot 5^{2k} + 9 \cdot 5^{2k} - 9 \cdot 3^{2k} = 16 \cdot 5^{2k} + 9(5^{2k} - 3^{2k})$.

Первое слагаемое $16 \cdot 5^{2k}$ очевидно делится на 16. Второе слагаемое $9(5^{2k} - 3^{2k})$ делится на 16, так как по индукционному предположению $(5^{2k} - 3^{2k})$ делится на 16. Сумма двух выражений, делящихся на 16, также делится на 16.

Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $k$, а значит, и для любого четного натурального $n$.

Ответ: Доказано.

18.11. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

1) $21^n + 16 \cdot 4^n$ кратно 17;

2) $15^n + 7 \cdot 7^n$ кратно 8;

3) $13^n + 9 \cdot 3^n$ кратно 10;

4) $5^n + 7 \cdot 9^n$ кратно 4.

1) Доказать, что $21^n + 16 \cdot 4^n$ кратно 17.

Для доказательства используем метод сравнений по модулю. Нам необходимо показать, что выражение $21^n + 16 \cdot 4^n$ даёт остаток 0 при делении на 17, что записывается как $21^n + 16 \cdot 4^n \equiv 0 \pmod{17}$.

Рассмотрим остатки от деления на 17 для оснований степеней и коэффициента:

Число 21 при делении на 17 даёт в остатке 4, так как $21 = 1 \cdot 17 + 4$. Следовательно, $21 \equiv 4 \pmod{17}$.

Число 16 можно представить как $16 = 1 \cdot 17 - 1$. Следовательно, $16 \equiv -1 \pmod{17}$.

Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение:

$21^n + 16 \cdot 4^n \equiv 4^n + (-1) \cdot 4^n \pmod{17}$

Упростим полученное выражение:

$4^n - 4^n \equiv 0 \pmod{17}$

Поскольку выражение $21^n + 16 \cdot 4^n$ сравнимо с нулём по модулю 17, это означает, что оно делится на 17 без остатка при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Доказано.

2) Доказать, что $15^n + 7 \cdot 7^n$ кратно 8.

Сначала преобразуем выражение: $15^n + 7 \cdot 7^n = 15^n + 7^{n+1}$.

Докажем, что $15^n + 7^{n+1}$ кратно 8, используя сравнения по модулю. Требуется показать, что $15^n + 7^{n+1} \equiv 0 \pmod{8}$.

Рассмотрим основания степеней по модулю 8:

Число 15 при делении на 8 даёт в остатке 7, или -1, так как $15 = 2 \cdot 8 - 1$. Следовательно, $15 \equiv -1 \pmod{8}$.

Число 7 при делении на 8 даёт в остатке 7, или -1, так как $7 = 1 \cdot 8 - 1$. Следовательно, $7 \equiv -1 \pmod{8}$.

Подставим эти сравнения в выражение:

$15^n + 7^{n+1} \equiv (-1)^n + (-1)^{n+1} \pmod{8}$

Вынесем общий множитель $(-1)^n$ за скобки:

$(-1)^n + (-1) \cdot (-1)^n = (-1)^n \cdot (1 + (-1)) = (-1)^n \cdot 0 \equiv 0 \pmod{8}$

Таким образом, выражение $15^n + 7 \cdot 7^n$ делится на 8 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

3) Доказать, что $13^n + 9 \cdot 3^n$ кратно 10.

Преобразуем выражение, представив 9 как $3^2$: $13^n + 9 \cdot 3^n = 13^n + 3^2 \cdot 3^n = 13^n + 3^{n+2}$.

Для доказательства кратности 10 воспользуемся сравнениями по модулю 10. Нужно показать, что $13^n + 3^{n+2} \equiv 0 \pmod{10}$.

Рассмотрим основание степени 13 по модулю 10:

Число 13 при делении на 10 даёт в остатке 3, так как $13 = 1 \cdot 10 + 3$. Следовательно, $13 \equiv 3 \pmod{10}$.

Подставим это в исходное выражение:

$13^n + 3^{n+2} \equiv 3^n + 3^{n+2} \pmod{10}$

Вынесем общий множитель $3^n$ за скобки:

$3^n + 3^2 \cdot 3^n = 3^n \cdot (1 + 3^2) = 3^n \cdot (1 + 9) = 3^n \cdot 10 \pmod{10}$

Так как один из множителей в произведении равен 10, всё произведение делится на 10 без остатка:

$3^n \cdot 10 \equiv 0 \pmod{10}$

Следовательно, выражение $13^n + 9 \cdot 3^n$ кратно 10 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

4) Доказать, что $5^n + 7 \cdot 9^n$ кратно 4.

Воспользуемся сравнениями по модулю 4. Нам необходимо показать, что $5^n + 7 \cdot 9^n \equiv 0 \pmod{4}$.

Рассмотрим остатки от деления на 4 для чисел в выражении:

$5 = 1 \cdot 4 + 1$, следовательно, $5 \equiv 1 \pmod{4}$.

$7 = 2 \cdot 4 - 1$, следовательно, $7 \equiv -1 \pmod{4}$.

$9 = 2 \cdot 4 + 1$, следовательно, $9 \equiv 1 \pmod{4}$.

Подставим эти сравнения в исходное выражение:

$5^n + 7 \cdot 9^n \equiv 1^n + (-1) \cdot 1^n \pmod{4}$

Так как $1^n = 1$ для любого натурального $n$, упростим выражение:

$1 + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 \equiv 0 \pmod{4}$

Поскольку выражение $5^n + 7 \cdot 9^n$ сравнимо с нулём по модулю 4, оно делится на 4 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

18.12. Докажите, что при любом нечетном натуральном $n$ значение выражения:

1) $5^n + 2^n$ кратно 7;

2) $5^n + 11^n + 2$ кратно 6.

1)

Требуется доказать, что выражение $5^n + 2^n$ кратно 7 при любом нечетном натуральном $n$. Для доказательства воспользуемся формулой суммы степеней, которая верна для любого нечетного натурального показателя $n$: $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$.

Применим эту формулу к нашему выражению, подставив $a=5$ и $b=2$: $5^n + 2^n = (5+2)(5^{n-1} - 5^{n-2}\cdot 2 + 5^{n-3}\cdot 2^2 - \dots + 2^{n-1})$ $5^n + 2^n = 7 \cdot (5^{n-1} - 5^{n-2}\cdot 2 + \dots + 2^{n-1})$.

Поскольку $n$ — натуральное число, выражение в скобках является целым числом. Следовательно, исходное выражение $5^n + 2^n$ представляет собой произведение числа 7 на целое число, а значит, оно кратно 7.

Альтернативное доказательство с помощью сравнений по модулю: Нам нужно доказать, что $5^n + 2^n \equiv 0 \pmod{7}$. Заметим, что $5 \equiv -2 \pmod{7}$. Тогда $5^n \equiv (-2)^n \pmod{7}$. Подставим это в левую часть сравнения: $5^n + 2^n \equiv (-2)^n + 2^n \pmod{7}$. По условию $n$ — нечетное число, поэтому $(-2)^n = -2^n$. Следовательно, $5^n + 2^n \equiv -2^n + 2^n \equiv 0 \pmod{7}$. Это доказывает, что $5^n + 2^n$ кратно 7.

Ответ: Доказано.

2)

Требуется доказать, что выражение $5^n + 11^n + 2$ кратно 6 при любом нечетном натуральном $n$. Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа). Докажем оба этих свойства.

а) Докажем делимость на 2. Определим четность выражения. Число 5 является нечетным, поэтому любая его натуральная степень $5^n$ также будет нечетной. Аналогично, 11 — нечетное число, и $11^n$ — нечетное. Число 2 — четное. Получаем сумму: (нечетное) + (нечетное) + (четное). Сумма двух нечетных чисел ($5^n + 11^n$) является четным числом. Сумма двух четных чисел (то есть $ (5^n + 11^n) + 2 $) также является четным числом. Следовательно, выражение $5^n + 11^n + 2$ всегда четное и кратно 2.

б) Докажем делимость на 3. Используем сравнения по модулю 3. Найдем остатки от деления на 3 для оснований степеней: $5 = 3 \cdot 1 + 2$, значит $5 \equiv 2 \pmod{3}$, или, что удобнее, $5 \equiv -1 \pmod{3}$. $11 = 3 \cdot 3 + 2$, значит $11 \equiv 2 \pmod{3}$, или $11 \equiv -1 \pmod{3}$. Теперь рассмотрим все выражение по модулю 3: $5^n + 11^n + 2 \equiv (-1)^n + (-1)^n + 2 \pmod{3}$. По условию $n$ — нечетное натуральное число, поэтому $(-1)^n = -1$. Подставим это значение: $5^n + 11^n + 2 \equiv (-1) + (-1) + 2 \pmod{3}$. $5^n + 11^n + 2 \equiv -2 + 2 \equiv 0 \pmod{3}$. Это означает, что выражение $5^n + 11^n + 2$ кратно 3.

Поскольку выражение $5^n + 11^n + 2$ делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение, то есть на 6.

Ответ: Доказано.

18.13. Докажите, что любой член числовой последовательности ($a_n$), для которой:

1) $a_n = n^3 + 35n$ делится на 6;

2) $a_n = n^3 + 17n$ делится на 6;

3) $a_n = 4^n + 15n - 1$ делится на 9;

4) $a_n = 7^n + 3n - 1$ делится на 9.

1) $a_n = n^3 + 35n$ делится на 6

Для доказательства того, что выражение $a_n = n^3 + 35n$ делится на 6 для любого натурального $n$, необходимо показать, что оно делится на 2 и на 3, так как 2 и 3 — взаимно простые числа, и их произведение равно 6.

Преобразуем исходное выражение:

$a_n = n^3 + 35n = n^3 - n + 36n = n(n^2 - 1) + 36n = (n-1)n(n+1) + 36n$.

Полученное выражение является суммой двух слагаемых: $(n-1)n(n+1)$ и $36n$.

Первое слагаемое, $(n-1)n(n+1)$, представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Среди трех последовательных чисел всегда есть как минимум одно четное (делится на 2) и ровно одно, кратное трем (делится на 3). Следовательно, их произведение всегда делится на $2 \times 3 = 6$.

Второе слагаемое, $36n$, также делится на 6, так как коэффициент 36 делится на 6 ($36 = 6 \times 6$).

Поскольку оба слагаемых в сумме делятся на 6, то и вся сумма $a_n = (n-1)n(n+1) + 36n$ делится на 6 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано, что любой член последовательности $a_n = n^3 + 35n$ делится на 6.

2) $a_n = n^3 + 17n$ делится на 6

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Преобразуем выражение, чтобы выделить произведение трех последовательных чисел.

$a_n = n^3 + 17n = n^3 - n + 18n = (n-1)n(n+1) + 18n$.

Выражение состоит из двух слагаемых: $(n-1)n(n+1)$ и $18n$.

Как было показано ранее, произведение трех последовательных чисел $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на 6.

Второе слагаемое, $18n$, делится на 6, так как коэффициент 18 делится на 6 ($18 = 3 \times 6$).

Так как оба слагаемых делятся на 6, их сумма $a_n$ также делится на 6 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано, что любой член последовательности $a_n = n^3 + 17n$ делится на 6.

3) $a_n = 4^n + 15n - 1$ делится на 9

Докажем это утверждение методом математической индукции.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$a_1 = 4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18$.

Число 18 делится на 9 ($18 = 9 \cdot 2$), следовательно, база индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $k \ge 1$, то есть $a_k = 4^k + 15k - 1$ делится на 9. Это означает, что существует целое число $m$, такое что $4^k + 15k - 1 = 9m$.

Из этого предположения выразим $4^k$: $4^k = 9m - 15k + 1$.

Теперь докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $a_{k+1} = 4^{k+1} + 15(k+1) - 1$ также делится на 9.

Преобразуем выражение для $a_{k+1}$:

$a_{k+1} = 4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14$.

Подставим выражение для $4^k$ из нашего предположения:

$a_{k+1} = 4(9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 60k + 4 + 15k + 14 = 36m - 45k + 18$.

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$a_{k+1} = 9(4m - 5k + 2)$.

Так как $m$ и $k$ — целые числа, выражение в скобках $(4m - 5k + 2)$ также является целым числом. Следовательно, $a_{k+1}$ делится на 9.

По принципу математической индукции, мы доказали, что утверждение верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано, что любой член последовательности $a_n = 4^n + 15n - 1$ делится на 9.

4) $a_n = 7^n + 3n - 1$ делится на 9

Докажем это утверждение методом математической индукции.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$a_1 = 7^1 + 3 \cdot 1 - 1 = 7 + 3 - 1 = 9$.

Число 9 делится на 9, следовательно, база индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $k \ge 1$, то есть $a_k = 7^k + 3k - 1$ делится на 9. Это означает, что $7^k + 3k - 1 = 9m$ для некоторого целого числа $m$.

Из этого предположения выразим $7^k$: $7^k = 9m - 3k + 1$.

Теперь докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $a_{k+1} = 7^{k+1} + 3(k+1) - 1$ также делится на 9.

Преобразуем выражение для $a_{k+1}$:

$a_{k+1} = 7^{k+1} + 3(k+1) - 1 = 7 \cdot 7^k + 3k + 3 - 1 = 7 \cdot 7^k + 3k + 2$.

Подставим выражение для $7^k$ из нашего предположения:

$a_{k+1} = 7(9m - 3k + 1) + 3k + 2 = 63m - 21k + 7 + 3k + 2 = 63m - 18k + 9$.

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$a_{k+1} = 9(7m - 2k + 1)$.

Так как $m$ и $k$ — целые числа, выражение в скобках $(7m - 2k + 1)$ также является целым числом. Следовательно, $a_{k+1}$ делится на 9.

По принципу математической индукции, мы доказали, что утверждение верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано, что любой член последовательности $a_n = 7^n + 3n - 1$ делится на 9.