Номер 18.6, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.6. Подберите формулу для нахождения значения суммы и докажите методом математической индукции, что она верна для всех натуральных чисел:

1) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + \ldots + n (3n - 1);$

2) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + n (3n + 1).$

1) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + \dots + n(3n - 1)$

Сначала подберем формулу для суммы $S_n = \sum_{k=1}^{n} k(3k - 1)$. Для этого представим общий член суммы в виде многочлена и воспользуемся известными формулами для сумм степеней натуральных чисел: $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ и $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 - k) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$

$S_n = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{n(n+1)}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{n(n+1)}{2}$:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} ((2n+1) - 1) = \frac{n(n+1)}{2} \cdot 2n = n^2(n+1)$

Итак, предполагаемая формула: $S_n = n^2(n+1)$.

Теперь докажем эту формулу методом математической индукции.

1. Базис индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

Левая часть: $S_1 = 1 \cdot (3 \cdot 1 - 1) = 1 \cdot 2 = 2$.

Правая часть: $1^2(1+1) = 1 \cdot 2 = 2$.

Равенство верно, базис индукции выполнен.

2. Индукционный переход.

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть:

$S_k = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + \dots + k(3k - 1) = k^2(k+1)$.

Докажем, что формула верна и для следующего числа $k+1$, то есть:

$S_{k+1} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + \dots + k(3k - 1) + (k+1)(3(k+1)-1) = (k+1)^2((k+1)+1) = (k+1)^2(k+2)$.

Рассмотрим левую часть равенства для $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = S_k + (k+1)(3(k+1)-1)$.

Используя предположение индукции, заменим $S_k$ на $k^2(k+1)$:

$S_{k+1} = k^2(k+1) + (k+1)(3k+3-1) = k^2(k+1) + (k+1)(3k+2)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)$:

$S_{k+1} = (k+1)(k^2 + (3k+2)) = (k+1)(k^2+3k+2)$.

Разложим квадратный трехчлен $k^2+3k+2$ на множители. Его корни $k=-1$ и $k=-2$, поэтому $k^2+3k+2 = (k+1)(k+2)$.

$S_{k+1} = (k+1)(k+1)(k+2) = (k+1)^2(k+2)$.

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: $1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + \dots + n(3n - 1) = n^2(n+1)$.

2) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1)$

Аналогично первому пункту, найдем формулу для суммы $S_n = \sum_{k=1}^{n} k(3k + 1)$.

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + k) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$S_n = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{n(n+1)}{2}$:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} ((2n+1) + 1) = \frac{n(n+1)}{2} \cdot (2n+2) = \frac{n(n+1) \cdot 2(n+1)}{2} = n(n+1)^2$.

Предполагаемая формула: $S_n = n(n+1)^2$.

Докажем эту формулу методом математической индукции.

1. Базис индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

Левая часть: $S_1 = 1 \cdot (3 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 4 = 4$.

Правая часть: $1 \cdot (1+1)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4$.

Равенство верно, базис индукции выполнен.

2. Индукционный переход.

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть:

$S_k = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k + 1) = k(k+1)^2$.

Докажем, что формула верна и для $k+1$, то есть:

$S_{k+1} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k + 1) + (k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)((k+1)+1)^2 = (k+1)(k+2)^2$.

Рассмотрим левую часть равенства для $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = S_k + (k+1)(3(k+1)+1)$.

Используя предположение индукции:

$S_{k+1} = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+3+1) = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)$:

$S_{k+1} = (k+1)(k(k+1) + (3k+4)) = (k+1)(k^2+k+3k+4) = (k+1)(k^2+4k+4)$.

Выражение в скобках $k^2+4k+4$ является полным квадратом: $(k+2)^2$.

$S_{k+1} = (k+1)(k+2)^2$.

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n+1)^2$.