Номер 18.2, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.2. Докажите, что для всех натуральных чисел выполняется равенство:

1) $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;

2) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.

1) Докажем равенство $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции.

Проверим, выполняется ли равенство для $n=1$.

Левая часть равенства: $1^2 = 1$.

Правая часть равенства: $\frac{1(1+1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Так как левая и правая части равны ($1=1$), равенство верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k$, то есть:

$1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.

Шаг 3: Индукционный шаг.

Докажем, что если равенство верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что:

$1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя индукционное предположение:

$(1^2 + 2^2 + ... + k^2) + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$.

Приведем выражение к общему знаменателю и вынесем за скобки общий множитель $(k+1)$:

$\frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} = \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$.

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$\frac{(k+1)[2k^2 + k + 6k + 6]}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}$.

Разложим на множители квадратный трехчлен $2k^2 + 7k + 6$. Его корни $k_1 = -2$ и $k_2 = -3/2$. Тогда $2k^2 + 7k + 6 = 2(k - (-2))(k - (-3/2)) = 2(k+2)(k+3/2) = (k+2)(2k+3)$.

Подставим полученное разложение в наше выражение:

$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$:

$\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+2+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

Левая и правая части совпали. Индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажем равенство $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ методом математической индукции.

Данное равенство также можно записать в виде $1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.

Шаг 1: База индукции.

Проверим, выполняется ли равенство для $n=1$.

Левая часть равенства: $1^3 = 1$.

Правая часть равенства: $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Так как $1=1$, равенство верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k$, то есть:

$1^3 + 2^3 + ... + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$.

Шаг 3: Индукционный шаг.

Докажем, что если равенство верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что:

$1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя индукционное предположение:

$(1^3 + 2^3 + ... + k^3) + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$.

Приведем выражение к общему знаменателю и вынесем за скобки общий множитель $(k+1)^2$:

$\frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2[k^2 + 4(k+1)]}{4}$.

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$\frac{(k+1)^2[k^2 + 4k + 4]}{4}$.

Выражение в квадратных скобках является полным квадратом: $k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$:

$\frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.

Левая и правая части совпали. Индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано.