Номер 18.1, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.1. Докажите методом математической индукции для арифметической и геометрической прогрессий формулы:

1) $a_n = a_1 + d(n - 1);$

2) $b_n = b_1 + q^{n-1}.$

1) Докажем формулу для n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + d(n-1)$ методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции.

Проверим справедливость формулы для начального значения $n=1$.

Подставляя $n=1$ в формулу, получаем: $a_1 = a_1 + d(1-1) = a_1 + d \cdot 0 = a_1$.

Равенство $a_1 = a_1$ является верным. Следовательно, база индукции выполняется.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$. То есть, мы предполагаем, что истинно равенство:

$a_k = a_1 + d(k-1)$

Шаг 3: Индукционный шаг.

Докажем, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для следующего натурального числа $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $a_{k+1} = a_1 + d((k+1)-1) = a_1 + dk$.

Согласно определению арифметической прогрессии, $(k+1)$-й член выражается через $k$-й член по формуле: $a_{k+1} = a_k + d$.

Воспользуемся нашим индукционным предположением для $a_k$:

$a_{k+1} = (a_1 + d(k-1)) + d$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$a_{k+1} = a_1 + dk - d + d$

$a_{k+1} = a_1 + dk$

Полученное равенство в точности совпадает с тем, что мы хотели доказать для $n=k+1$.

Так как оба шага математической индукции выполнены, мы можем заключить, что формула $a_n = a_1 + d(n-1)$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем формулу для n-го члена геометрической прогрессии методом математической индукции.

Примечание: в условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. Формула $b_n = b_1 + q^{n-1}$ не является формулой n-го члена геометрической прогрессии. Стандартная и общепринятая формула имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Доказательство будет проведено для этой корректной формулы.

Шаг 1: База индукции.

Проверим справедливость формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для начального значения $n=1$.

Подставляя $n=1$ в формулу, получаем: $b_1 = b_1 \cdot q^{1-1} = b_1 \cdot q^0 = b_1 \cdot 1 = b_1$.

Равенство $b_1 = b_1$ является верным. Следовательно, база индукции выполняется.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$. То есть, мы предполагаем, что истинно равенство:

$b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$

Шаг 3: Индукционный шаг.

Докажем, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для следующего натурального числа $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $b_{k+1} = b_1 \cdot q^{(k+1)-1} = b_1 \cdot q^k$.

Согласно определению геометрической прогрессии, $(k+1)$-й член выражается через $k$-й член по формуле: $b_{k+1} = b_k \cdot q$.

Воспользуемся нашим индукционным предположением для $b_k$:

$b_{k+1} = (b_1 \cdot q^{k-1}) \cdot q$

Используя свойство степеней ($x^a \cdot x^b = x^{a+b}$), упростим выражение:

$b_{k+1} = b_1 \cdot q^{(k-1)+1}$

$b_{k+1} = b_1 \cdot q^k$

Полученное равенство в точности совпадает с тем, что мы хотели доказать для $n=k+1$.

Так как оба шага математической индукции выполнены, мы можем заключить, что формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.