Номер 18.7, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.7. Методом математической индукции докажите, что для всех натуральных чисел:

1) $7^n - 6 \cdot 2^n$ делится на 5;

2) $7^n + 3 \cdot 3^n$ делится на 4;

3) $15^n + 6$ делится на 7;

4) $9^n + 3$ делится на 4.

1) Докажем методом математической индукции, что выражение $7^n - 6 \cdot 2^n$ делится на 5 для всех натуральных $n$.
База индукции ($n=1$):
При $n=1$ имеем: $7^1 - 6 \cdot 2^1 = 7 - 12 = -5$.
Число -5 делится на 5. Утверждение верно для $n=1$.
Индукционное предположение ($n=k$):
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $7^k - 6 \cdot 2^k$ делится на 5.
Индукционный шаг ($n=k+1$):
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что выражение $7^{k+1} - 6 \cdot 2^{k+1}$ делится на 5.
Преобразуем выражение для $n=k+1$:
$7^{k+1} - 6 \cdot 2^{k+1} = 7 \cdot 7^k - 6 \cdot 2 \cdot 2^k = 7 \cdot 7^k - 12 \cdot 2^k$.
Выделим в выражении часть, соответствующую индукционному предположению:
$7 \cdot 7^k - 12 \cdot 2^k = 7 \cdot (7^k - 6 \cdot 2^k) + 7 \cdot 6 \cdot 2^k - 12 \cdot 2^k$
$= 7(7^k - 6 \cdot 2^k) + 42 \cdot 2^k - 12 \cdot 2^k$
$= 7(7^k - 6 \cdot 2^k) + 30 \cdot 2^k$.
Первое слагаемое, $7(7^k - 6 \cdot 2^k)$, делится на 5, так как по индукционному предположению выражение в скобках $7^k - 6 \cdot 2^k$ делится на 5. Второе слагаемое, $30 \cdot 2^k = 5 \cdot 6 \cdot 2^k$, также делится на 5. Сумма двух чисел, делящихся на 5, также делится на 5.
Следовательно, выражение $7^{k+1} - 6 \cdot 2^{k+1}$ делится на 5.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Доказано.

2) Докажем методом математической индукции, что выражение $7^n + 3 \cdot 3^n$ делится на 4 для всех натуральных $n$.
База индукции ($n=1$):
При $n=1$ имеем: $7^1 + 3 \cdot 3^1 = 7 + 9 = 16$.
Число 16 делится на 4. Утверждение верно для $n=1$.
Индукционное предположение ($n=k$):
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $7^k + 3 \cdot 3^k$ делится на 4.
Индукционный шаг ($n=k+1$):
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что выражение $7^{k+1} + 3 \cdot 3^{k+1}$ делится на 4.
Преобразуем выражение для $n=k+1$:
$7^{k+1} + 3 \cdot 3^{k+1} = 7 \cdot 7^k + 3 \cdot 3 \cdot 3^k = 7 \cdot 7^k + 9 \cdot 3^k$.
Выделим в выражении часть, соответствующую индукционному предположению:
$7 \cdot 7^k + 9 \cdot 3^k = 7 \cdot (7^k + 3 \cdot 3^k) - 7 \cdot 3 \cdot 3^k + 9 \cdot 3^k$
$= 7(7^k + 3 \cdot 3^k) - 21 \cdot 3^k + 9 \cdot 3^k$
$= 7(7^k + 3 \cdot 3^k) - 12 \cdot 3^k$.
Первое слагаемое, $7(7^k + 3 \cdot 3^k)$, делится на 4, так как по индукционному предположению выражение в скобках $7^k + 3 \cdot 3^k$ делится на 4. Второе слагаемое, $-12 \cdot 3^k = -4 \cdot 3 \cdot 3^k$, также делится на 4. Разность двух чисел, делящихся на 4, также делится на 4.
Следовательно, выражение $7^{k+1} + 3 \cdot 3^{k+1}$ делится на 4.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Доказано.

3) Докажем методом математической индукции, что выражение $15^n + 6$ делится на 7 для всех натуральных $n$.
База индукции ($n=1$):
При $n=1$ имеем: $15^1 + 6 = 21$.
Число 21 делится на 7. Утверждение верно для $n=1$.
Индукционное предположение ($n=k$):
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $15^k + 6$ делится на 7.
Индукционный шаг ($n=k+1$):
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что выражение $15^{k+1} + 6$ делится на 7.
Преобразуем выражение для $n=k+1$:
$15^{k+1} + 6 = 15 \cdot 15^k + 6$.
Выделим в выражении часть, соответствующую индукционному предположению:
$15 \cdot 15^k + 6 = 15 \cdot (15^k + 6) - 15 \cdot 6 + 6$
$= 15(15^k + 6) - 90 + 6$
$= 15(15^k + 6) - 84$.
Первое слагаемое, $15(15^k + 6)$, делится на 7, так как по индукционному предположению выражение в скобках $15^k + 6$ делится на 7. Второе слагаемое, $-84 = -7 \cdot 12$, также делится на 7. Разность двух чисел, делящихся на 7, также делится на 7.
Следовательно, выражение $15^{k+1} + 6$ делится на 7.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Доказано.

4) Докажем методом математической индукции, что выражение $9^n + 3$ делится на 4 для всех натуральных $n$.
База индукции ($n=1$):
При $n=1$ имеем: $9^1 + 3 = 12$.
Число 12 делится на 4. Утверждение верно для $n=1$.
Индукционное предположение ($n=k$):
Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $9^k + 3$ делится на 4.
Индукционный шаг ($n=k+1$):
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что выражение $9^{k+1} + 3$ делится на 4.
Преобразуем выражение для $n=k+1$:
$9^{k+1} + 3 = 9 \cdot 9^k + 3$.
Выделим в выражении часть, соответствующую индукционному предположению:
$9 \cdot 9^k + 3 = 9 \cdot (9^k + 3) - 9 \cdot 3 + 3$
$= 9(9^k + 3) - 27 + 3$
$= 9(9^k + 3) - 24$.
Первое слагаемое, $9(9^k + 3)$, делится на 4, так как по индукционному предположению выражение в скобках $9^k + 3$ делится на 4. Второе слагаемое, $-24 = -4 \cdot 6$, также делится на 4. Разность двух чисел, делящихся на 4, также делится на 4.
Следовательно, выражение $9^{k+1} + 3$ делится на 4.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Доказано.