Номер 18.14, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.14. Докажите неравенство:

1) $4^n > 7n - 5$ при $n \in N$;

2) $2^n > 5n + 1$ при $n \in N, n \ge 5$.

1) Докажем неравенство $4^n > 7n - 5$ при $n \in \mathbb{N}$ методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции.

Проверим справедливость неравенства для наименьшего натурального числа $n=1$.

Подставим $n=1$ в неравенство:

$4^1 > 7 \cdot 1 - 5$

$4 > 2$

Неравенство верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что неравенство верно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge 1$, то есть:

$4^k > 7k - 5$

Шаг 3: Индукционный шаг.

Докажем, что неравенство верно и для следующего натурального числа $n = k+1$. То есть докажем, что $4^{k+1} > 7(k+1) - 5$.

Преобразуем левую часть неравенства для $n=k+1$:

$4^{k+1} = 4 \cdot 4^k$

Согласно индукционному предположению, $4^k > 7k - 5$. Умножим обе части этого неравенства на 4:

$4 \cdot 4^k > 4 \cdot (7k - 5)$

$4^{k+1} > 28k - 20$

Теперь нам нужно доказать, что $4^{k+1} > 7(k+1) - 5$, что эквивалентно $4^{k+1} > 7k + 2$.

Мы уже показали, что $4^{k+1} > 28k - 20$. Докажем, что $28k - 20 > 7k + 2$ для всех $k \in \mathbb{N}$.

$28k - 7k > 20 + 2$

$21k > 22$

$k > \frac{22}{21}$

Это неравенство верно для всех натуральных $k \ge 2$. Для $k=1$ индукционный переход можно проверить напрямую: нам нужно доказать, что $4^{1+1} > 7(1+1)-5$, то есть $16 > 9$, что является верным.

Таким образом, для любого натурального $k$ выполняется $4^{k+1} > 7(k+1) - 5$.

По принципу математической индукции, неравенство $4^n > 7n - 5$ доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $2^n > 5n + 1$ при $n \in \mathbb{N}, n \ge 5$ методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции.

Проверим справедливость неравенства для наименьшего указанного значения $n=5$.

Подставим $n=5$ в неравенство:

$2^5 > 5 \cdot 5 + 1$

$32 > 25 + 1$

$32 > 26$

Неравенство верно для $n=5$.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 5$, то есть:

$2^k > 5k + 1$

Шаг 3: Индукционный шаг.

Докажем, что неравенство верно и для $n = k+1$, где $k \ge 5$. То есть докажем, что $2^{k+1} > 5(k+1) + 1$.

Рассмотрим левую часть неравенства для $n=k+1$:

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$

Используя индукционное предположение ($2^k > 5k + 1$), получаем:

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2(5k+1) = 10k + 2$

Нам нужно доказать, что $2^{k+1} > 5(k+1) + 1$, что равносильно $2^{k+1} > 5k + 6$.

Докажем, что $10k + 2 > 5k + 6$ для $k \ge 5$.

$10k - 5k > 6 - 2$

$5k > 4$

$k > \frac{4}{5}$

Поскольку по условию $k \ge 5$, это неравенство очевидно верно.

Таким образом, мы имеем цепочку неравенств для $k \ge 5$:

$2^{k+1} > 10k + 2 > 5k + 6 = 5(k+1) + 1$

Шаг индукции доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство $2^n > 5n + 1$ верно для всех натуральных $n \ge 5$.

Ответ: Неравенство доказано.