Номер 18.15, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.15. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

1) $5^n + 2 \cdot 3^n + 5$ кратно 8;

2) $5^n - 3^n + 2n$ кратно 4.

1) Докажем, что выражение $5^n + 2 \cdot 3^n + 5$ кратно 8 при любом натуральном $n$ методом математической индукции.
Пусть $A(n) = 5^n + 2 \cdot 3^n + 5$.

База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$.
$A(1) = 5^1 + 2 \cdot 3^1 + 5 = 5 + 6 + 5 = 16$.
Поскольку $16$ делится на $8$ ($16 = 8 \cdot 2$), утверждение верно для $n=1$.

Индукционное предположение:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $A(k) = 5^k + 2 \cdot 3^k + 5$ кратно $8$.

Индукционный шаг:
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть $A(k+1) = 5^{k+1} + 2 \cdot 3^{k+1} + 5$ также кратно $8$.
Рассмотрим разность $A(k+1) - A(k)$:
$A(k+1) - A(k) = (5^{k+1} + 2 \cdot 3^{k+1} + 5) - (5^k + 2 \cdot 3^k + 5)$
$A(k+1) - A(k) = 5^{k+1} - 5^k + 2 \cdot 3^{k+1} - 2 \cdot 3^k$
$A(k+1) - A(k) = 5^k(5 - 1) + 2 \cdot 3^k(3 - 1)$
$A(k+1) - A(k) = 4 \cdot 5^k + 2 \cdot 3^k \cdot 2$
$A(k+1) - A(k) = 4 \cdot 5^k + 4 \cdot 3^k = 4(5^k + 3^k)$
Поскольку $5$ и $3$ — нечетные числа, любая их натуральная степень ($5^k$ и $3^k$) также является нечетным числом. Сумма двух нечетных чисел ($5^k + 3^k$) является четным числом.
Значит, $5^k + 3^k = 2m$ для некоторого целого числа $m$.
Тогда $A(k+1) - A(k) = 4(2m) = 8m$.
Это означает, что разность $A(k+1) - A(k)$ кратна $8$.
Мы можем выразить $A(k+1)$ как $A(k+1) = A(k) + (A(k+1) - A(k))$.
По индукционному предположению, $A(k)$ кратно $8$. Мы доказали, что $A(k+1) - A(k)$ кратно $8$. Сумма двух чисел, кратных $8$, также кратна $8$. Следовательно, $A(k+1)$ кратно $8$.
Таким образом, по принципу математической индукции, выражение $5^n + 2 \cdot 3^n + 5$ кратно $8$ для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что выражение $5^n - 3^n + 2n$ кратно 4 при любом натуральном $n$ методом математической индукции.
Пусть $B(n) = 5^n - 3^n + 2n$.

База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$.
$B(1) = 5^1 - 3^1 + 2(1) = 5 - 3 + 2 = 4$.
Поскольку $4$ делится на $4$, утверждение верно для $n=1$.

Индукционное предположение:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $B(k) = 5^k - 3^k + 2k$ кратно $4$.

Индукционный шаг:
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть $B(k+1) = 5^{k+1} - 3^{k+1} + 2(k+1)$ также кратно $4$.
Рассмотрим разность $B(k+1) - B(k)$:
$B(k+1) - B(k) = (5^{k+1} - 3^{k+1} + 2(k+1)) - (5^k - 3^k + 2k)$
$B(k+1) - B(k) = 5^{k+1} - 5^k - 3^{k+1} + 3^k + 2k + 2 - 2k$
$B(k+1) - B(k) = 5^k(5 - 1) - 3^k(3 - 1) + 2$
$B(k+1) - B(k) = 4 \cdot 5^k - 2 \cdot 3^k + 2 = 4 \cdot 5^k - 2(3^k - 1)$
Первое слагаемое $4 \cdot 5^k$ очевидно кратно $4$.
Рассмотрим второе слагаемое $2(3^k - 1)$. Поскольку $3$ — нечетное число, любая его натуральная степень $3^k$ также является нечетным числом. Разность нечетного числа и единицы ($3^k - 1$) является четным числом.
Значит, $3^k - 1 = 2m$ для некоторого целого числа $m$.
Тогда $2(3^k - 1) = 2(2m) = 4m$.
Это означает, что слагаемое $2(3^k - 1)$ кратно $4$.
Следовательно, разность $B(k+1) - B(k) = 4 \cdot 5^k - 4m = 4(5^k-m)$, кратна $4$.
Мы можем выразить $B(k+1)$ как $B(k+1) = B(k) + (B(k+1) - B(k))$.
По индукционному предположению, $B(k)$ кратно $4$. Мы доказали, что $B(k+1) - B(k)$ кратно $4$. Сумма двух чисел, кратных $4$, также кратна $4$. Следовательно, $B(k+1)$ кратно $4$.
Таким образом, по принципу математической индукции, выражение $5^n - 3^n + 2n$ кратно $4$ для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.