Номер 18.19, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.19. Методом математической индукции докажите, что для всех натуральных чисел верно неравенство:

1) $2^n > n^3$;

2) $2^{n+2} > 2n + 5$;

3) $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}$.

1) Сначала проверим данное неравенство $2^n > n^3$ для нескольких первых натуральных чисел.
При $n=1$: $2^1 > 1^3 \implies 2 > 1$. Верно.
При $n=2$: $2^2 > 2^3 \implies 4 > 8$. Неверно.
При $n=3$: $2^3 > 3^3 \implies 8 > 27$. Неверно.
...
При $n=9$: $2^9 > 9^3 \implies 512 > 729$. Неверно.
При $n=10$: $2^{10} > 10^3 \implies 1024 > 1000$. Верно.
Таким образом, утверждение неверно для всех натуральных чисел в указанной форме. Оно справедливо при $n=1$ и, как мы докажем далее, для всех $n \ge 10$. Докажем неравенство $2^n > n^3$ методом математической индукции для всех натуральных чисел $n \ge 10$.

I. Базис индукции.
При $n=10$ неравенство верно: $2^{10} = 1024$, $10^3 = 1000$, и $1024 > 1000$.

II. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 10$, то есть $2^k > k^3$.

III. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно для $n = k+1$, то есть $2^{k+1} > (k+1)^3$.
Используя индукционное предположение, имеем:
$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^3$.
Теперь нам нужно доказать, что $2k^3 > (k+1)^3$ для $k \ge 10$.
$(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$.
Неравенство $2k^3 > k^3 + 3k^2 + 3k + 1$ равносильно неравенству $k^3 - 3k^2 - 3k - 1 > 0$.
Докажем это неравенство. Разделим обе части неравенства $k^3 > 3k^2 + 3k + 1$ на $k^2$ (что можно, так как $k > 0$):
$k > 3 + \frac{3}{k} + \frac{1}{k^2}$.
Для $k \ge 10$ правая часть не превосходит $3 + \frac{3}{10} + \frac{1}{100} = 3 + 0.3 + 0.01 = 3.31$.
Неравенство $k > 3.31$ верно для всех $k \ge 4$, а значит и для всех $k \ge 10$.
Таким образом, мы показали, что $2k^3 > (k+1)^3$ для $k \ge 10$.
Собирая всё вместе, получаем: $2^{k+1} > 2k^3 > (k+1)^3$.
Следовательно, $2^{k+1} > (k+1)^3$. Шаг индукции доказан.

Заключение.
По принципу математической индукции, неравенство $2^n > n^3$ верно для всех натуральных чисел $n \ge 10$.

Ответ: Утверждение в исходной формулировке неверно. Неравенство $2^n > n^3$ доказано для всех натуральных чисел $n \ge 10$.

2) Докажем неравенство $2^{n+2} > 2n + 5$ методом математической индукции для всех натуральных чисел $n$.

I. Базис индукции.
При $n=1$: левая часть $2^{1+2} = 2^3 = 8$; правая часть $2(1)+5 = 7$. Неравенство $8 > 7$ верно.

II. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $2^{k+2} > 2k + 5$.

III. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно для $n = k+1$, то есть $2^{(k+1)+2} > 2(k+1) + 5$.
Преобразуем правую часть: $2(k+1) + 5 = 2k+2+5 = 2k+7$.
Итак, нужно доказать, что $2^{k+3} > 2k+7$.
Рассмотрим левую часть. Используя индукционное предположение, имеем:
$2^{k+3} = 2 \cdot 2^{k+2} > 2(2k+5) = 4k+10$.
Теперь нам нужно доказать, что $4k+10 > 2k+7$.
Это неравенство равносильно $2k > -3$, или $k > -1.5$.
Поскольку $k$ — натуральное число ($k \ge 1$), неравенство $k > -1.5$ всегда верно.
Таким образом, мы получили цепочку неравенств: $2^{k+3} > 4k+10 > 2k+7$.
Следовательно, $2^{k+3} > 2k+7$. Шаг индукции доказан.

Заключение.
По принципу математической индукции, неравенство $2^{n+2} > 2n + 5$ верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Неравенство $2^{n+2} > 2n + 5$ доказано для всех натуральных чисел $n$.

3) Обозначим сумму в левой части как $S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}$.
Проверим неравенство $S_n > \frac{1}{2}$ для нескольких первых натуральных чисел.
При $n=1$: $S_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$. Неравенство $\frac{1}{2} > \frac{1}{2}$ является ложным.
При $n=2$: $S_2 = \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$. Неравенство $\frac{7}{12} > \frac{1}{2}$ (то есть $\frac{7}{12} > \frac{6}{12}$) верно.
Утверждение неверно для $n=1$. Докажем его методом математической индукции для всех натуральных чисел $n \ge 2$.

I. Базис индукции.
При $n=2$ неравенство верно, как показано выше: $S_2 = \frac{7}{12} > \frac{1}{2}$.

II. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 2$, то есть $S_k = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + ... + \frac{1}{2k} > \frac{1}{2}$.

III. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно для $n = k+1$, то есть $S_{k+1} > \frac{1}{2}$.
Распишем сумму $S_{k+1}$:
$S_{k+1} = \frac{1}{(k+1)+1} + ... + \frac{1}{2(k+1)} = \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + ... + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2}$.
Выразим $S_{k+1}$ через $S_k$. Из определения $S_k$ имеем $\frac{1}{k+2} + ... + \frac{1}{2k} = S_k - \frac{1}{k+1}$.
Подставим это в выражение для $S_{k+1}$:
$S_{k+1} = \left(S_k - \frac{1}{k+1}\right) + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2}$.
$S_{k+1} = S_k + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2(k+1)} - \frac{1}{k+1} = S_k + \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)}$.
Найдем разность дробей:
$\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)} = \frac{2(k+1) - (2k+1)}{2(k+1)(2k+1)} = \frac{2k+2-2k-1}{2(k+1)(2k+1)} = \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}$.
Таким образом, $S_{k+1} = S_k + \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}$.
По индукционному предположению, $S_k > \frac{1}{2}$.
Так как $k \ge 2$, то выражение $\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}$ строго положительно.
Следовательно, $S_{k+1} = S_k + \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} > \frac{1}{2} + \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} > \frac{1}{2}$.
Шаг индукции доказан.

Заключение.
По принципу математической индукции, неравенство $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}$ верно для всех натуральных чисел $n \ge 2$.

Ответ: Утверждение в исходной формулировке неверно. Неравенство $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}$ доказано для всех натуральных чисел $n \ge 2$.