Номер 18.16, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.16. Докажите, что выполняется неравенство:

1) $3^n - 2^n \ge n$ при любом $n \in N$;

2) $3^{n-1} > 2n^2 - n$ при любом $n \in N, n \ge 5$.

1) Докажем неравенство $3^n - 2^n \ge n$ при любом $n \in \mathbb{N}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим справедливость неравенства для $n=1$.
При $n=1$ имеем: $3^1 - 2^1 = 3 - 2 = 1$. Неравенство $1 \ge 1$ является верным. База индукции выполнена.

Индукционное предположение. Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть, что выполняется $3^k - 2^k \ge k$.

Индукционный шаг. Докажем, что из предположения следует верность неравенства для $n = k+1$. То есть, докажем, что $3^{k+1} - 2^{k+1} \ge k+1$.
Рассмотрим левую часть неравенства для $n=k+1$ и преобразуем ее:
$3^{k+1} - 2^{k+1} = 3 \cdot 3^k - 2 \cdot 2^k$
Чтобы использовать индукционное предположение, выделим в выражении $3^k - 2^k$:
$3 \cdot 3^k - 2 \cdot 2^k = 3 \cdot 3^k - 3 \cdot 2^k + 3 \cdot 2^k - 2 \cdot 2^k = 3(3^k - 2^k) + 2^k$.
Согласно индукционному предположению, $3^k - 2^k \ge k$. Подставим это в наше выражение:
$3(3^k - 2^k) + 2^k \ge 3k + 2^k$.
Теперь нам осталось доказать, что полученное выражение больше или равно $k+1$, то есть, что $3k + 2^k \ge k+1$.
Это неравенство равносильно $2k + 2^k \ge 1$.
Так как $k$ — натуральное число, то $k \ge 1$. При $k=1$, имеем $2(1) + 2^1 = 4$, что больше 1. Для любого $k \ge 1$ оба слагаемых $2k$ и $2^k$ являются положительными, поэтому их сумма заведомо больше 1. Неравенство $2k + 2^k \ge 1$ верно для всех $k \ge 1$.
Таким образом, мы показали, что $3^{k+1} - 2^{k+1} \ge 3k + 2^k \ge k+1$, откуда следует, что $3^{k+1} - 2^{k+1} \ge k+1$.
Индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции, неравенство $3^n - 2^n \ge n$ справедливо для любого натурального числа $n$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $3^{n-1} > 2n^2 - n$ при любом $n \in \mathbb{N}, n \ge 5$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим справедливость неравенства для наименьшего возможного значения $n=5$.
Левая часть: $3^{5-1} = 3^4 = 81$.
Правая часть: $2 \cdot 5^2 - 5 = 2 \cdot 25 - 5 = 50 - 5 = 45$.
Неравенство $81 > 45$ является верным. База индукции выполнена.

Индукционное предположение. Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 5$, то есть $3^{k-1} > 2k^2 - k$.

Индукционный шаг. Докажем, что неравенство верно и для $n = k+1$. То есть, докажем, что $3^{(k+1)-1} > 2(k+1)^2 - (k+1)$.
Преобразуем правую часть этого неравенства:
$2(k+1)^2 - (k+1) = 2(k^2 + 2k + 1) - k - 1 = 2k^2 + 4k + 2 - k - 1 = 2k^2 + 3k + 1$.
Итак, нам нужно доказать, что $3^k > 2k^2 + 3k + 1$.
Рассмотрим левую часть неравенства, $3^k$, и применим индукционное предположение:
$3^k = 3 \cdot 3^{k-1}$.
Так как по предположению $3^{k-1} > 2k^2 - k$, то:
$3^k = 3 \cdot 3^{k-1} > 3(2k^2 - k) = 6k^2 - 3k$.
Теперь нам достаточно доказать, что $6k^2 - 3k > 2k^2 + 3k + 1$ для всех $k \ge 5$.
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$(6k^2 - 3k) - (2k^2 + 3k + 1) > 0$
$4k^2 - 6k - 1 > 0$.
Рассмотрим функцию $f(k) = 4k^2 - 6k - 1$. Это парабола с ветвями вверх. Проверим ее значение при $k=5$:
$f(5) = 4 \cdot 5^2 - 6 \cdot 5 - 1 = 4 \cdot 25 - 30 - 1 = 100 - 31 = 69$.
Так как $f(5) = 69 > 0$, и ветви параболы направлены вверх, нам нужно убедиться, что вершина параболы находится левее точки $k=5$. Абсцисса вершины параболы $k_v = -\frac{-6}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = 0.75$. Поскольку $k \ge 5$ находится на возрастающем участке параболы и $f(5)>0$, то $f(k)>0$ для всех $k \ge 5$.
Следовательно, вспомогательное неравенство $4k^2 - 6k - 1 > 0$ верно для $k \ge 5$.
Таким образом, мы доказали, что $3^{(k+1)-1} = 3^k > 6k^2 - 3k > 2k^2 + 3k + 1 = 2(k+1)^2 - (k+1)$.
Индукционный шаг доказан.

По принципу математической индукции, неравенство $3^{n-1} > 2n^2 - n$ справедливо для любого натурального числа $n \ge 5$.
Ответ: Неравенство доказано.