Номер 18.21, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*18.21. Найдите значение суммы:

1) $\frac{1}{4 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 18} + \frac{1}{18 \cdot 25} + \dots $

2) $\frac{1}{3 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 19} + \frac{1}{19 \cdot 27} + \dots $

3) $\frac{1}{5 \cdot 16} + \frac{1}{16 \cdot 27} + \frac{1}{27 \cdot 38} + \dots $

4) $\frac{1}{9 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 17} + \frac{1}{17 \cdot 21} + \dots $

1) Данная сумма представляет собой бесконечный ряд вида $\frac{1}{4 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 18} + \frac{1}{18 \cdot 25} + \dots$.
Знаменатели дробей образованы произведениями последовательных членов арифметической прогрессии: 4, 11, 18, 25, ...
Первый член этой прогрессии $a_1 = 4$, а ее разность $d = 11 - 4 = 7$.
Общий член ряда имеет вид $\frac{1}{a_n a_{n+1}}$. Для нахождения суммы воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Каждый член ряда можно представить в виде:
$\frac{1}{k(k+d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+d} \right)$.
В данном случае $d=7$, поэтому:
$\frac{1}{4 \cdot 11} = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{11} \right)$
$\frac{1}{11 \cdot 18} = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{18} \right)$
$\frac{1}{18 \cdot 25} = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{18} - \frac{1}{25} \right)$, и так далее.
Запишем сумму $S$ в новом виде:
$S = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{11} \right) + \frac{1}{7} \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{18} \right) + \frac{1}{7} \left( \frac{1}{18} - \frac{1}{25} \right) + \dots$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{7}$:
$S = \frac{1}{7} \left[ \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{18} \right) + \left( \frac{1}{18} - \frac{1}{25} \right) + \dots \right]$
Получилась телескопическая сумма, в которой все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Частичная сумма $S_N$ этого ряда, состоящая из $N$ членов, равна:
$S_N = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4+7N} \right)$.
Значение бесконечной суммы — это предел частичной суммы при $N \to \infty$:
$S = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{7} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4+7N} \right) = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{1}{28}$.
Ответ: $\frac{1}{28}$

2) Рассмотрим сумму $\frac{1}{3 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 19} + \frac{1}{19 \cdot 27} + \dots$.
Знаменатели дробей образованы произведениями последовательных членов арифметической прогрессии: 3, 11, 19, 27, ...
Первый член этой прогрессии $a_1 = 3$, а ее разность $d = 11 - 3 = 8$.
Используем ту же формулу разложения дроби: $\frac{1}{k(k+d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+d} \right)$.
При $d=8$ каждый член суммы разлагается следующим образом:
$\frac{1}{3 \cdot 11} = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{11} \right)$
$\frac{1}{11 \cdot 19} = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{19} \right)$
$\frac{1}{19 \cdot 27} = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{19} - \frac{1}{27} \right)$, и так далее.
Запишем сумму $S$:
$S = \frac{1}{8} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{19} \right) + \left( \frac{1}{19} - \frac{1}{27} \right) + \dots \right]$
Это телескопическая сумма. После сокращения промежуточных членов остается только первый, так как предел последнего члена при стремлении числа слагаемых к бесконечности равен нулю.
$S = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{1}{24}$.
Ответ: $\frac{1}{24}$

3) Рассмотрим сумму $\frac{1}{5 \cdot 16} + \frac{1}{16 \cdot 27} + \frac{1}{27 \cdot 38} + \dots$.
Знаменатели дробей образованы произведениями последовательных членов арифметической прогрессии: 5, 16, 27, 38, ...
Первый член этой прогрессии $a_1 = 5$, а ее разность $d = 16 - 5 = 11$.
Применяем формулу разложения дроби $\frac{1}{k(k+d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+d} \right)$ при $d=11$:
$\frac{1}{5 \cdot 16} = \frac{1}{11} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{16} \right)$
$\frac{1}{16 \cdot 27} = \frac{1}{11} \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{27} \right)$, и так далее.
Сумма $S$ равна:
$S = \frac{1}{11} \left[ \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{16} \right) + \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{27} \right) + \left( \frac{1}{27} - \frac{1}{38} \right) + \dots \right]$
В этой телескопической сумме после взаимного уничтожения членов остается:
$S = \frac{1}{11} \left( \frac{1}{5} - 0 \right) = \frac{1}{55}$.
Ответ: $\frac{1}{55}$

4) Рассмотрим сумму $\frac{1}{9 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 17} + \frac{1}{17 \cdot 21} + \dots$.
Знаменатели дробей образованы произведениями последовательных членов арифметической прогрессии: 9, 13, 17, 21, ...
Первый член этой прогрессии $a_1 = 9$, а ее разность $d = 13 - 9 = 4$.
Применяем формулу разложения дроби $\frac{1}{k(k+d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+d} \right)$ при $d=4$:
$\frac{1}{9 \cdot 13} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{13} \right)$
$\frac{1}{13 \cdot 17} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{17} \right)$, и так далее.
Сумма $S$ равна:
$S = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{13} \right) + \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{17} \right) + \left( \frac{1}{17} - \frac{1}{21} \right) + \dots \right]$
В этой телескопической сумме после взаимного уничтожения членов остается:
$S = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$