Номер 18.28, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.28. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 4x + 3}{5 - 2x}} + \frac{2}{x + 1};$

2) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 5x + 6}{7 - 3x}} + \frac{1}{x}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x^2 - 4x + 3}{5 - 2x}} + \frac{2}{x + 1}$ находится из следующих условий: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатели дробей не должны равняться нулю. Это приводит к системе условий:$\begin{cases} \frac{x^2 - 4x + 3}{5 - 2x} \ge 0 \\ x + 1 \neq 0\end{cases}$

Сначала решим неравенство $\frac{x^2 - 4x + 3}{5 - 2x} \ge 0$. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Тогда числитель раскладывается на множители: $(x - 1)(x - 3)$.

Нуль знаменателя: $5 - 2x = 0 \implies x = 2,5$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 1)(x - 3)}{5 - 2x} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки $x=1$, $x=2,5$ и $x=3$. Точки $x=1$ и $x=3$ будут закрашенными (включенными), так как неравенство нестрогое, а точка $x=2,5$ — выколотой (исключенной), так как она обращает знаменатель в ноль.

Определим знаки выражения в каждом интервале. Например, при $x=0$ выражение $\frac{(-1)(-3)}{5} > 0$. При $x=2$, $\frac{(1)(-1)}{1} < 0$. При $x=2,6$, $\frac{(1,6)(-0,4)}{-0,2} > 0$. При $x=4$, $\frac{(3)(1)}{-3} < 0$.

Нам нужны интервалы со знаком "+". Решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup (2,5, 3]$.

Теперь учтем второе условие системы: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Исключаем точку $x=-1$ из полученного решения. Так как $-1$ входит в промежуток $(-\infty, 1]$, мы разбиваем этот промежуток на два.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1] \cup (2,5, 3]$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (-1, 1] \cup (2,5, 3]$.

2) Для функции $y = \sqrt{\frac{x^2 - 5x + 6}{7 - 3x}} + \frac{1}{x}$ область определения задается системой условий:$\begin{cases} \frac{x^2 - 5x + 6}{7 - 3x} \ge 0 \\ x \neq 0\end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $\frac{x^2 - 5x + 6}{7 - 3x} \ge 0$.

Найдем нули числителя: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Корни этого уравнения $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Значит, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Найдем нуль знаменателя: $7 - 3x = 0 \implies x = \frac{7}{3}$.

Неравенство переписывается в виде: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{7 - 3x} \ge 0$.

Применим метод интервалов. На числовой оси отметим точки $x=2$, $x=\frac{7}{3}$ (что примерно равно 2,33) и $x=3$. Точки $x=2$ и $x=3$ будут закрашенными, а точка $x=\frac{7}{3}$ — выколотой.

Определим знаки на интервалах. При $x=0$, $\frac{(-2)(-3)}{7} > 0$. При $x=2,1$, $\frac{(0,1)(-0,9)}{0,7} < 0$. При $x=2,5$, $\frac{(0,5)(-0,5)}{-0,5} > 0$. При $x=4$, $\frac{(2)(1)}{-5} < 0$.

Выбираем интервалы со знаком "+". Решение неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup (\frac{7}{3}, 3]$.

Теперь учтем второе условие системы: $x \neq 0$.

Точка $x=0$ принадлежит промежутку $(-\infty, 2]$, поэтому ее необходимо исключить.

Итоговая область определения функции: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2] \cup (\frac{7}{3}, 3]$.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, 2] \cup (\frac{7}{3}, 3]$.