Номер 18.24, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.24. Если двузначное число разделить на значение произведения его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9 ($10a+b = 3ab+9$). Если к значению суммы квадратов цифр этого числа прибавить значение произведения его цифр, то получится это же число ($a^2+b^2+ab = 10a+b$). Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, где $a$ – цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ – цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$). Значение этого числа равно $10a + b$.

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: "Если двузначное число разделить на значение произведения его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9". Это можно записать в виде уравнения, используя формулу деления с остатком (делимое = делитель × частное + остаток):

$10a + b = 3 \cdot (a \cdot b) + 9$

Из этого же условия следует, что остаток должен быть строго меньше делителя: $9 < ab$.

Второе условие: "Если к значению суммы квадратов цифр этого числа прибавить значение произведения его цифр, то получится это же число". Это записывается так:

$a^2 + b^2 + ab = 10a + b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} 10a + b = 3ab + 9 \\ a^2 + b^2 + ab = 10a + b \end{cases}$

Правая часть второго уравнения совпадает с левой частью первого. Приравняем левую часть второго уравнения к правой части первого:

$a^2 + b^2 + ab = 3ab + 9$

Перенесем все члены в левую часть и упростим выражение:

$a^2 + b^2 + ab - 3ab - 9 = 0$

$a^2 - 2ab + b^2 - 9 = 0$

Первые три члена представляют собой формулу квадрата разности:

$(a - b)^2 - 9 = 0$

$(a - b)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных случая: $a - b = 3$ или $a - b = -3$. Рассмотрим оба.

Случай 1: $a - b = 3$

Выразим $a$ через $b$: $a = b + 3$. Подставим это выражение в первое уравнение системы $10a + b = 3ab + 9$:

$10(b + 3) + b = 3(b + 3)b + 9$

$10b + 30 + b = 3b^2 + 9b + 9$

$11b + 30 = 3b^2 + 9b + 9$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3b^2 - 2b - 21 = 0$

Решим это уравнение относительно $b$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-21) = 4 + 252 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения:

$b_1 = \frac{2 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6}$, что не является цифрой.

$b_2 = \frac{2 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

Поскольку $b$ – это цифра, нам подходит только $b=3$. Найдем соответствующее значение $a$:

$a = b + 3 = 3 + 3 = 6$.

Получили число 63. Проверим, удовлетворяет ли оно дополнительному условию $ab > 9$: $6 \cdot 3 = 18$, $18 > 9$. Условие выполнено.

Случай 2: $a - b = -3$

Выразим $b$ через $a$: $b = a + 3$. Подставим это выражение в первое уравнение системы $10a + b = 3ab + 9$:

$10a + (a + 3) = 3a(a + 3) + 9$

$11a + 3 = 3a^2 + 9a + 9$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3a^2 - 2a + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 4 - 72 = -68$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней, а значит, и целочисленных решений для $a$ нет.

Таким образом, единственным решением является пара цифр $a=6$ и $b=3$. Искомое число – 63.

Проведем финальную проверку:

1. Делим 63 на произведение его цифр $6 \cdot 3 = 18$. $63 = 3 \cdot 18 + 9$. Частное равно 3, остаток равен 9. Первое условие выполнено.

2. Сумма квадратов цифр $6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$. Прибавляем произведение цифр $18$: $45 + 18 = 63$. Получилось само число. Второе условие выполнено.

Ответ: 63