Страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

18.22. Осознание метода математической индукции, как отдельного важного метода, восходит к Блезу Паскалю (1623–1662), хотя отдельные случаи применения встречаются у Евклида (ок. 300 г. до н. э.).

Название метода было введено шотландским математиком де Морганом в 1838 г.

Вклад Блеза Паскаля. Согласно представленной информации, осознание метода математической индукции как самостоятельного и важного научного инструмента связано с работами французского математика, физика и философа Блеза Паскаля (1623–1662). Именно Паскаль в своем «Трактате об арифметическом треугольнике» (опубликован в 1665 г.) впервые четко сформулировал и применил этот метод для доказательства свойств биномиальных коэффициентов, образующих треугольник Паскаля. Его формулировка включала два ключевых шага, которые сегодня являются основой метода: проверку утверждения для начального случая (база индукции) и доказательство того, что если утверждение верно для некоторого случая, то оно верно и для следующего (индукционный переход). Ответ: Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю.

Ранние применения метода. Хотя Паскаль был первым, кто формализовал метод, его элементы использовались и ранее. В тексте упоминается древнегреческий математик Евклид (около 300 г. до н. э.). Примером неявного использования индуктивного рассуждения у Евклида может служить его доказательство бесконечности множества простых чисел (Книга IX «Начал»). Он не использовал индукцию в современном виде, но его доказательство от противного содержит логическую цепочку, которую можно интерпретировать как индуктивный шаг. Подобные индуктивные рассуждения встречались и у других математиков до Паскаля, но они не были выделены в отдельный метод. Ответ: Отдельные случаи применения рассуждений, схожих с математической индукцией, встречаются уже в работах Евклида.

Введение термина «математическая индукция». Современное название метода — «математическая индукция» — появилось значительно позже. Оно было введено в 1838 году шотландским математиком и логиком Августом (Огастесом) де Морганом (1806–1871), портрет которого приведен на изображении. Де Морган четко разграничил индукцию в естественных науках (обобщение на основе наблюдений) и строгий дедуктивный метод в математике, который он и назвал математической индукцией. Он подробно описал этот метод в своей статье «Induction (Mathematics)» для энциклопедии Penny Cyclopædia, что способствовало его популяризации и закреплению термина в научном обиходе. Ответ: Название «математическая индукция» было введено шотландским математиком де Морганом в 1838 году.

18.23. Предприниматель положил в коммерческий банк некоторую сумму денег под фиксированный процент годового дохода. Через два года сумма вклада увеличилась на 60 000 тг, а за третий год еще на 49 000 тг. Найдите первоначальную сумму вклада.

Пусть $S$ — первоначальная сумма вклада в тенге (тг), а $r$ — фиксированный годовой процент. В задачах на сложный процент удобно использовать коэффициент годового роста $k = 1 + \frac{r}{100}$.

Сумма на счете через $n$ лет вычисляется по формуле $S_n = S \cdot k^n$.

По условию, через два года сумма вклада увеличилась на 60 000 тг. Это означает, что разница между суммой на счете через два года и первоначальной суммой составляет 60 000 тг. Составим первое уравнение:

$S_2 - S = 60000$

$S \cdot k^2 - S = 60000$

$S(k^2 - 1) = 60000$ (1)

Также известно, что за третий год сумма вклада увеличилась еще на 49 000 тг. Это прирост за третий год, который равен разнице между суммой в конце третьего и второго годов. Составим второе уравнение:

$S_3 - S_2 = 49000$

$S \cdot k^3 - S \cdot k^2 = 49000$

$S \cdot k^2(k - 1) = 49000$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $S$ и $k$. Чтобы решить ее, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{S \cdot k^2(k - 1)}{S(k^2 - 1)} = \frac{49000}{60000}$

Сократим $S$ (поскольку первоначальный вклад не может быть нулевым) и применим в знаменателе формулу разности квадратов $k^2 - 1 = (k - 1)(k + 1)$:

$\frac{k^2(k - 1)}{(k - 1)(k + 1)} = \frac{49}{60}$

Сократим общий множитель $(k - 1)$ (процентная ставка положительна, поэтому $k > 1$ и $k - 1 \neq 0$):

$\frac{k^2}{k + 1} = \frac{49}{60}$

Из этой пропорции получаем квадратное уравнение относительно $k$:

$60k^2 = 49(k + 1)$

$60k^2 - 49k - 49 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-49)^2 - 4 \cdot 60 \cdot (-49) = 2401 + 11760 = 14161$

$\sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119$

Найдем корни уравнения:

$k_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 + 119}{2 \cdot 60} = \frac{168}{120} = 1.4$

$k_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 - 119}{120} = -\frac{70}{120}$

Поскольку $k$ — это коэффициент годового роста, он должен быть больше 1. Следовательно, нам подходит только корень $k = 1.4$.

Теперь найдем первоначальную сумму вклада $S$, подставив найденное значение $k=1.4$ в уравнение (1):

$S(1.4^2 - 1) = 60000$

$S(1.96 - 1) = 60000$

$S(0.96) = 60000$

$S = \frac{60000}{0.96} = \frac{6000000}{96} = 62500$

Таким образом, первоначальная сумма вклада составляет 62500 тг.

Ответ: 62500 тг.

18.24. Если двузначное число разделить на значение произведения его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9 ($10a+b = 3ab+9$). Если к значению суммы квадратов цифр этого числа прибавить значение произведения его цифр, то получится это же число ($a^2+b^2+ab = 10a+b$). Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, где $a$ – цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ – цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$). Значение этого числа равно $10a + b$.

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: "Если двузначное число разделить на значение произведения его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9". Это можно записать в виде уравнения, используя формулу деления с остатком (делимое = делитель × частное + остаток):

$10a + b = 3 \cdot (a \cdot b) + 9$

Из этого же условия следует, что остаток должен быть строго меньше делителя: $9 < ab$.

Второе условие: "Если к значению суммы квадратов цифр этого числа прибавить значение произведения его цифр, то получится это же число". Это записывается так:

$a^2 + b^2 + ab = 10a + b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} 10a + b = 3ab + 9 \\ a^2 + b^2 + ab = 10a + b \end{cases}$

Правая часть второго уравнения совпадает с левой частью первого. Приравняем левую часть второго уравнения к правой части первого:

$a^2 + b^2 + ab = 3ab + 9$

Перенесем все члены в левую часть и упростим выражение:

$a^2 + b^2 + ab - 3ab - 9 = 0$

$a^2 - 2ab + b^2 - 9 = 0$

Первые три члена представляют собой формулу квадрата разности:

$(a - b)^2 - 9 = 0$

$(a - b)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных случая: $a - b = 3$ или $a - b = -3$. Рассмотрим оба.

Случай 1: $a - b = 3$

Выразим $a$ через $b$: $a = b + 3$. Подставим это выражение в первое уравнение системы $10a + b = 3ab + 9$:

$10(b + 3) + b = 3(b + 3)b + 9$

$10b + 30 + b = 3b^2 + 9b + 9$

$11b + 30 = 3b^2 + 9b + 9$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3b^2 - 2b - 21 = 0$

Решим это уравнение относительно $b$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-21) = 4 + 252 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения:

$b_1 = \frac{2 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6}$, что не является цифрой.

$b_2 = \frac{2 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

Поскольку $b$ – это цифра, нам подходит только $b=3$. Найдем соответствующее значение $a$:

$a = b + 3 = 3 + 3 = 6$.

Получили число 63. Проверим, удовлетворяет ли оно дополнительному условию $ab > 9$: $6 \cdot 3 = 18$, $18 > 9$. Условие выполнено.

Случай 2: $a - b = -3$

Выразим $b$ через $a$: $b = a + 3$. Подставим это выражение в первое уравнение системы $10a + b = 3ab + 9$:

$10a + (a + 3) = 3a(a + 3) + 9$

$11a + 3 = 3a^2 + 9a + 9$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3a^2 - 2a + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 4 - 72 = -68$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней, а значит, и целочисленных решений для $a$ нет.

Таким образом, единственным решением является пара цифр $a=6$ и $b=3$. Искомое число – 63.

Проведем финальную проверку:

1. Делим 63 на произведение его цифр $6 \cdot 3 = 18$. $63 = 3 \cdot 18 + 9$. Частное равно 3, остаток равен 9. Первое условие выполнено.

2. Сумма квадратов цифр $6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$. Прибавляем произведение цифр $18$: $45 + 18 = 63$. Получилось само число. Второе условие выполнено.

Ответ: 63

18.25. Решите уравнение $2 + 4 + 6 + \dots + x = 930$.

Данное уравнение представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, где каждый последующий член на 2 больше предыдущего.

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Разность прогрессии $d = 4 - 2 = 2$.

Последний (n-й) член прогрессии $a_n = x$.

Сумма $n$ членов прогрессии $S_n = 930$.

Сначала найдем количество членов в этой прогрессии, обозначив его как $n$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и формулой суммы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Из первой формулы выразим $x$ через $n$: $x = 2 + (n-1)2 = 2 + 2n - 2 = 2n$.

Теперь подставим все известные значения, включая выражение для $x$, в формулу суммы:

$S_n = \frac{2 + x}{2} \cdot n$

$930 = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n$

Упростим выражение в числителе дроби:

$930 = \frac{2(1 + n)}{2} \cdot n$

$930 = (1 + n) \cdot n$

Мы получили квадратное уравнение:

$n^2 + n - 930 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-930) = 1 + 3720 = 3721$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{3721} = 61$.

Теперь найдем корни уравнения для $n$:

$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 61}{2}$

$n_1 = \frac{-1 + 61}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$n_2 = \frac{-1 - 61}{2} = \frac{-62}{2} = -31$

Поскольку $n$ — это количество членов в последовательности, оно должно быть положительным целым числом. Следовательно, $n = 30$.

Теперь, зная количество членов, мы можем найти $x$, который является 30-м членом прогрессии:

$x = a_n = 2n$

$x = 2 \cdot 30 = 60$

Проверка:

Найдем сумму первых 30 членов арифметической прогрессии с $a_1 = 2$ и $a_{30} = 60$.

$S_{30} = \frac{2 + 60}{2} \cdot 30 = \frac{62}{2} \cdot 30 = 31 \cdot 30 = 930$.

Сумма верна, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $60$.

18.26. Значение суммы трех последовательных чисел геометрической прогрессии равно 114. Эти числа можно рассматривать как первый, четвертый и двадцать пятый члены арифметической прогрессии. Найдите эти числа.

Пусть три последовательных члена геометрической прогрессии $(b_n)$ это $b, bq, bq^2$, где $b$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. По условию, их сумма равна 114:

$b + bq + bq^2 = 114$

$b(1 + q + q^2) = 114$ (1)

Эти три числа также являются первым, четвертым и двадцать пятым членами некоторой арифметической прогрессии $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Таким образом, мы имеем:

$b = a_1$

$bq = a_4 = a_1 + 3d$

$bq^2 = a_{25} = a_1 + 24d$

Подставим $a_1 = b$ в два последних уравнения, чтобы связать $b, q$ и $d$:

$bq = b + 3d \implies b(q-1) = 3d$ (2)

$bq^2 = b + 24d \implies b(q^2-1) = 24d$ (3)

Разделим уравнение (3) на уравнение (2), предполагая, что $d \neq 0$ и $b(q-1) \neq 0$. Так как сумма чисел не равна нулю, $b \neq 0$.

$\frac{b(q^2-1)}{b(q-1)} = \frac{24d}{3d}$

$\frac{q^2-1}{q-1} = 8$

Используя формулу разности квадратов $q^2-1 = (q-1)(q+1)$ и тот факт, что $q \neq 1$, мы можем сократить дробь:

$q+1 = 8 \implies q = 7$

Теперь, зная $q=7$, найдем $b$ из уравнения (1):

$b(1 + 7 + 7^2) = 114 \implies b(1 + 7 + 49) = 114 \implies b(57) = 114 \implies b = 2$.

Таким образом, три числа геометрической прогрессии: $2$, $2 \cdot 7 = 14$, $2 \cdot 7^2 = 98$. Проверим, могут ли числа 2, 14, 98 быть первым, четвертым и двадцать пятым членами арифметической прогрессии. Пусть $a_1 = 2$, $a_4 = 14$. Найдем разность $d$: $a_4 = a_1 + 3d \implies 14 = 2 + 3d \implies 3d = 12 \implies d = 4$. Теперь проверим $a_{25}$: $a_{25} = a_1 + 24d = 2 + 24 \cdot 4 = 2 + 96 = 98$. Условие выполняется.

Теперь рассмотрим случай, который мы исключили: $q=1$. Если $q=1$, то все члены геометрической прогрессии равны: $b, b, b$. Их сумма $b+b+b = 3b = 114$, откуда $b = 38$. Искомые числа: 38, 38, 38. Проверим условие для арифметической прогрессии: $a_1 = 38, a_4 = 38$. Отсюда $a_4 = a_1 + 3d \implies 38 = 38 + 3d \implies 3d = 0 \implies d = 0$. Если разность равна нулю, все члены арифметической прогрессии равны, значит $a_{25}=38$. Это согласуется с условием. Следовательно, это второе возможное решение.

Таким образом, существуют два набора чисел, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: 2, 14, 98 или 38, 38, 38.

18.27. Решите уравнение:

1) $(x^2 + x + 1)^2 - 3x^2 - 3x - 1 = 0;$

2) $(2x^2 + 3x - 1)^2 - 10x^2 - 15x + 9 = 0.$

1) $(x^2 + x + 1)^2 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$
Это уравнение можно решить методом введения новой переменной. Заметим, что выражение $-3x^2 - 3x - 1$ можно преобразовать так, чтобы выделить в нем $x^2 + x + 1$.
$-3x^2 - 3x - 1 = -3(x^2 + x) - 1 = -3(x^2 + x + 1 - 1) - 1 = -3(x^2 + x + 1) + 3 - 1 = -3(x^2 + x + 1) + 2$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$(x^2 + x + 1)^2 - 3(x^2 + x + 1) + 2 = 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = x^2 + x + 1$. Тогда уравнение примет вид:
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t = 1$.
$x^2 + x + 1 = 1$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Случай 2: $t = 2$.
$x^2 + x + 1 = 2$
$x^2 + x - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-1; 0; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

2) $(2x^2 + 3x - 1)^2 - 10x^2 - 15x + 9 = 0$
Данное уравнение также решается методом замены переменной. Сначала преобразуем слагаемые вне скобок:
$-10x^2 - 15x + 9 = -5(2x^2 + 3x) + 9$.
Теперь выделим в этом выражении $2x^2 + 3x - 1$:
$-5(2x^2 + 3x) + 9 = -5(2x^2 + 3x - 1 + 1) + 9 = -5(2x^2 + 3x - 1) - 5 + 9 = -5(2x^2 + 3x - 1) + 4$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(2x^2 + 3x - 1)^2 - 5(2x^2 + 3x - 1) + 4 = 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = 2x^2 + 3x - 1$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 5t + 4 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 1$.
$2x^2 + 3x - 1 = 1$
$2x^2 + 3x - 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

Случай 2: $t = 4$.
$2x^2 + 3x - 1 = 4$
$2x^2 + 3x - 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$.
$x_3 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_4 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-\frac{5}{2}; -2; \frac{1}{2}; 1$.

18.28. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 4x + 3}{5 - 2x}} + \frac{2}{x + 1};$

2) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 5x + 6}{7 - 3x}} + \frac{1}{x}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x^2 - 4x + 3}{5 - 2x}} + \frac{2}{x + 1}$ находится из следующих условий: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатели дробей не должны равняться нулю. Это приводит к системе условий:$\begin{cases} \frac{x^2 - 4x + 3}{5 - 2x} \ge 0 \\ x + 1 \neq 0\end{cases}$

Сначала решим неравенство $\frac{x^2 - 4x + 3}{5 - 2x} \ge 0$. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Тогда числитель раскладывается на множители: $(x - 1)(x - 3)$.

Нуль знаменателя: $5 - 2x = 0 \implies x = 2,5$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 1)(x - 3)}{5 - 2x} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки $x=1$, $x=2,5$ и $x=3$. Точки $x=1$ и $x=3$ будут закрашенными (включенными), так как неравенство нестрогое, а точка $x=2,5$ — выколотой (исключенной), так как она обращает знаменатель в ноль.

Определим знаки выражения в каждом интервале. Например, при $x=0$ выражение $\frac{(-1)(-3)}{5} > 0$. При $x=2$, $\frac{(1)(-1)}{1} < 0$. При $x=2,6$, $\frac{(1,6)(-0,4)}{-0,2} > 0$. При $x=4$, $\frac{(3)(1)}{-3} < 0$.

Нам нужны интервалы со знаком "+". Решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup (2,5, 3]$.

Теперь учтем второе условие системы: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Исключаем точку $x=-1$ из полученного решения. Так как $-1$ входит в промежуток $(-\infty, 1]$, мы разбиваем этот промежуток на два.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1] \cup (2,5, 3]$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (-1, 1] \cup (2,5, 3]$.

2) Для функции $y = \sqrt{\frac{x^2 - 5x + 6}{7 - 3x}} + \frac{1}{x}$ область определения задается системой условий:$\begin{cases} \frac{x^2 - 5x + 6}{7 - 3x} \ge 0 \\ x \neq 0\end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $\frac{x^2 - 5x + 6}{7 - 3x} \ge 0$.

Найдем нули числителя: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Корни этого уравнения $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Значит, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Найдем нуль знаменателя: $7 - 3x = 0 \implies x = \frac{7}{3}$.

Неравенство переписывается в виде: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{7 - 3x} \ge 0$.

Применим метод интервалов. На числовой оси отметим точки $x=2$, $x=\frac{7}{3}$ (что примерно равно 2,33) и $x=3$. Точки $x=2$ и $x=3$ будут закрашенными, а точка $x=\frac{7}{3}$ — выколотой.

Определим знаки на интервалах. При $x=0$, $\frac{(-2)(-3)}{7} > 0$. При $x=2,1$, $\frac{(0,1)(-0,9)}{0,7} < 0$. При $x=2,5$, $\frac{(0,5)(-0,5)}{-0,5} > 0$. При $x=4$, $\frac{(2)(1)}{-5} < 0$.

Выбираем интервалы со знаком "+". Решение неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup (\frac{7}{3}, 3]$.

Теперь учтем второе условие системы: $x \neq 0$.

Точка $x=0$ принадлежит промежутку $(-\infty, 2]$, поэтому ее необходимо исключить.

Итоговая область определения функции: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2] \cup (\frac{7}{3}, 3]$.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, 2] \cup (\frac{7}{3}, 3]$.