Номер 18.23, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.23. Предприниматель положил в коммерческий банк некоторую сумму денег под фиксированный процент годового дохода. Через два года сумма вклада увеличилась на 60 000 тг, а за третий год еще на 49 000 тг. Найдите первоначальную сумму вклада.

Пусть $S$ — первоначальная сумма вклада в тенге (тг), а $r$ — фиксированный годовой процент. В задачах на сложный процент удобно использовать коэффициент годового роста $k = 1 + \frac{r}{100}$.

Сумма на счете через $n$ лет вычисляется по формуле $S_n = S \cdot k^n$.

По условию, через два года сумма вклада увеличилась на 60 000 тг. Это означает, что разница между суммой на счете через два года и первоначальной суммой составляет 60 000 тг. Составим первое уравнение:

$S_2 - S = 60000$

$S \cdot k^2 - S = 60000$

$S(k^2 - 1) = 60000$ (1)

Также известно, что за третий год сумма вклада увеличилась еще на 49 000 тг. Это прирост за третий год, который равен разнице между суммой в конце третьего и второго годов. Составим второе уравнение:

$S_3 - S_2 = 49000$

$S \cdot k^3 - S \cdot k^2 = 49000$

$S \cdot k^2(k - 1) = 49000$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $S$ и $k$. Чтобы решить ее, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{S \cdot k^2(k - 1)}{S(k^2 - 1)} = \frac{49000}{60000}$

Сократим $S$ (поскольку первоначальный вклад не может быть нулевым) и применим в знаменателе формулу разности квадратов $k^2 - 1 = (k - 1)(k + 1)$:

$\frac{k^2(k - 1)}{(k - 1)(k + 1)} = \frac{49}{60}$

Сократим общий множитель $(k - 1)$ (процентная ставка положительна, поэтому $k > 1$ и $k - 1 \neq 0$):

$\frac{k^2}{k + 1} = \frac{49}{60}$

Из этой пропорции получаем квадратное уравнение относительно $k$:

$60k^2 = 49(k + 1)$

$60k^2 - 49k - 49 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-49)^2 - 4 \cdot 60 \cdot (-49) = 2401 + 11760 = 14161$

$\sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119$

Найдем корни уравнения:

$k_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 + 119}{2 \cdot 60} = \frac{168}{120} = 1.4$

$k_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 - 119}{120} = -\frac{70}{120}$

Поскольку $k$ — это коэффициент годового роста, он должен быть больше 1. Следовательно, нам подходит только корень $k = 1.4$.

Теперь найдем первоначальную сумму вклада $S$, подставив найденное значение $k=1.4$ в уравнение (1):

$S(1.4^2 - 1) = 60000$

$S(1.96 - 1) = 60000$

$S(0.96) = 60000$

$S = \frac{60000}{0.96} = \frac{6000000}{96} = 62500$

Таким образом, первоначальная сумма вклада составляет 62500 тг.

Ответ: 62500 тг.