Номер 18.18, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.18. 1) Последовательность ($a_n$) задана рекуррентно: $a_1 = 3$,

$a_{n+1} = 7a_n + 3.$

Докажите, что $a_n = \frac{7^n - 1}{2}$.

2) Последовательность ($a_n$) задана рекуррентно: $a_1 = 4$,

$a_{n+1} = 3a_n - 2.$

Докажите, что $a_n = n^3+1$ при $n \ge 2$.

1) Докажем утверждение $a_n = \frac{7^n - 1}{2}$ для последовательности, заданной рекуррентно: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 7a_n + 3$, методом математической индукции.

База индукции:
Проверим справедливость формулы для $n = 1$.
По условию, $a_1 = 3$.
По формуле, $a_1 = \frac{7^1 - 1}{2} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Утверждение верно для $n = 1$.

Индукционное предположение:
Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $a_k = \frac{7^k - 1}{2}$.

Индукционный переход:
Докажем, что формула верна для $n = k + 1$, то есть $a_{k+1} = \frac{7^{k+1} - 1}{2}$.
Используем рекуррентное соотношение $a_{k+1} = 7a_k + 3$ и индукционное предположение:
$a_{k+1} = 7 \cdot a_k + 3 = 7 \cdot \left(\frac{7^k - 1}{2}\right) + 3$
$a_{k+1} = \frac{7 \cdot 7^k - 7 \cdot 1}{2} + \frac{6}{2}$
$a_{k+1} = \frac{7^{k+1} - 7}{2} + \frac{6}{2}$
$a_{k+1} = \frac{7^{k+1} - 7 + 6}{2}$
$a_{k+1} = \frac{7^{k+1} - 1}{2}$
Таким образом, формула верна и для $n = k+1$.

Вывод:
По принципу математической индукции, формула $a_n = \frac{7^n - 1}{2}$ верна для всех натуральных $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Рассмотрим последовательность, заданную рекуррентно: $a_1 = 4$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$. Требуется доказать, что $a_n = n^3 + 1$ при $n \ge 2$.

Проверим утверждение для начального значения $n=2$.
Сначала вычислим $a_2$ с помощью рекуррентного соотношения:
$a_2 = 3a_1 - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$.
Теперь вычислим $a_2$ по предложенной формуле $a_n = n^3 + 1$:
$a_2 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$.

Поскольку $10 \neq 9$, предложенная формула $a_n = n^3 + 1$ неверна для данной последовательности. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Давайте найдем верную формулу для $n$-го члена. Это линейное рекуррентное соотношение. Рассмотрим вспомогательную последовательность $b_n = a_n - c$, где $c$ - неподвижная точка: $c = 3c - 2 \implies 2c = 2 \implies c = 1$.
Тогда $b_n = a_n - 1$.
Выразим $b_{n+1}$ через $b_n$:
$b_{n+1} = a_{n+1} - 1 = (3a_n - 2) - 1 = 3a_n - 3 = 3(a_n - 1) = 3b_n$.
Последовательность $b_n$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.
Найдем первый член $b_1$:
$b_1 = a_1 - 1 = 4 - 1 = 3$.
Формула для $n$-го члена $b_n$ имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$.
Тогда $a_n = b_n + 1 = 3^n + 1$.

Скорее всего, в условии имелась в виду формула $a_n = 3^n + 1$. Докажем ее по индукции.
База индукции ($n=1$):
По условию, $a_1 = 4$. По формуле $a_1 = 3^1 + 1 = 4$. Верно.
Индукционное предположение:
Предположим, что $a_k = 3^k + 1$ для некоторого $k \ge 1$.
Индукционный переход:
Докажем для $k+1$: $a_{k+1} = 3^{k+1} + 1$.
$a_{k+1} = 3a_k - 2 = 3(3^k + 1) - 2 = 3 \cdot 3^k + 3 - 2 = 3^{k+1} + 1$.
Утверждение доказано.

Ответ: Исходное утверждение $a_n = n^3 + 1$ при $n \ge 2$ является неверным, так как уже при $n=2$ оно не выполняется: $a_2$ по рекуррентной формуле равно 10, а по предложенной формуле — 9. Вероятно, в условии была опечатка, и правильная формула для $n$-го члена — $a_n = 3^n + 1$.