Номер 18.12, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.12. Докажите, что при любом нечетном натуральном $n$ значение выражения:

1) $5^n + 2^n$ кратно 7;

2) $5^n + 11^n + 2$ кратно 6.

1)

Требуется доказать, что выражение $5^n + 2^n$ кратно 7 при любом нечетном натуральном $n$. Для доказательства воспользуемся формулой суммы степеней, которая верна для любого нечетного натурального показателя $n$: $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$.

Применим эту формулу к нашему выражению, подставив $a=5$ и $b=2$: $5^n + 2^n = (5+2)(5^{n-1} - 5^{n-2}\cdot 2 + 5^{n-3}\cdot 2^2 - \dots + 2^{n-1})$ $5^n + 2^n = 7 \cdot (5^{n-1} - 5^{n-2}\cdot 2 + \dots + 2^{n-1})$.

Поскольку $n$ — натуральное число, выражение в скобках является целым числом. Следовательно, исходное выражение $5^n + 2^n$ представляет собой произведение числа 7 на целое число, а значит, оно кратно 7.

Альтернативное доказательство с помощью сравнений по модулю: Нам нужно доказать, что $5^n + 2^n \equiv 0 \pmod{7}$. Заметим, что $5 \equiv -2 \pmod{7}$. Тогда $5^n \equiv (-2)^n \pmod{7}$. Подставим это в левую часть сравнения: $5^n + 2^n \equiv (-2)^n + 2^n \pmod{7}$. По условию $n$ — нечетное число, поэтому $(-2)^n = -2^n$. Следовательно, $5^n + 2^n \equiv -2^n + 2^n \equiv 0 \pmod{7}$. Это доказывает, что $5^n + 2^n$ кратно 7.

Ответ: Доказано.

2)

Требуется доказать, что выражение $5^n + 11^n + 2$ кратно 6 при любом нечетном натуральном $n$. Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа). Докажем оба этих свойства.

а) Докажем делимость на 2. Определим четность выражения. Число 5 является нечетным, поэтому любая его натуральная степень $5^n$ также будет нечетной. Аналогично, 11 — нечетное число, и $11^n$ — нечетное. Число 2 — четное. Получаем сумму: (нечетное) + (нечетное) + (четное). Сумма двух нечетных чисел ($5^n + 11^n$) является четным числом. Сумма двух четных чисел (то есть $ (5^n + 11^n) + 2 $) также является четным числом. Следовательно, выражение $5^n + 11^n + 2$ всегда четное и кратно 2.

б) Докажем делимость на 3. Используем сравнения по модулю 3. Найдем остатки от деления на 3 для оснований степеней: $5 = 3 \cdot 1 + 2$, значит $5 \equiv 2 \pmod{3}$, или, что удобнее, $5 \equiv -1 \pmod{3}$. $11 = 3 \cdot 3 + 2$, значит $11 \equiv 2 \pmod{3}$, или $11 \equiv -1 \pmod{3}$. Теперь рассмотрим все выражение по модулю 3: $5^n + 11^n + 2 \equiv (-1)^n + (-1)^n + 2 \pmod{3}$. По условию $n$ — нечетное натуральное число, поэтому $(-1)^n = -1$. Подставим это значение: $5^n + 11^n + 2 \equiv (-1) + (-1) + 2 \pmod{3}$. $5^n + 11^n + 2 \equiv -2 + 2 \equiv 0 \pmod{3}$. Это означает, что выражение $5^n + 11^n + 2$ кратно 3.

Поскольку выражение $5^n + 11^n + 2$ делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение, то есть на 6.

Ответ: Доказано.