Номер 18.10, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.10. Методом математической индукции докажите, что при четном $n \in N$:

1) $7^n - 5^n$ делится на 24;

2) $5^n - 3^n$ делится на 16.

1) Докажем, что при любом четном натуральном $n$ выражение $7^n - 5^n$ делится на 24.

Поскольку $n$ — четное натуральное число, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k \in N$. Будем доказывать по индукции для $k \ge 1$, что $7^{2k} - 5^{2k}$ делится на 24.

База индукции: при $k=1$ (что соответствует $n=2$) имеем:

$7^{2 \cdot 1} - 5^{2 \cdot 1} = 7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24$.

Число 24 делится на 24, следовательно, база индукции верна.

Индукционное предположение: предположим, что для некоторого натурального $k$ утверждение верно, то есть $(7^{2k} - 5^{2k})$ делится на 24. Это значит, что существует целое число $m$ такое, что $7^{2k} - 5^{2k} = 24m$.

Индукционный шаг: докажем, что утверждение верно для $k+1$, то есть что $(7^{2(k+1)} - 5^{2(k+1)})$ делится на 24. Преобразуем выражение:

$7^{2(k+1)} - 5^{2(k+1)} = 7^{2k+2} - 5^{2k+2} = 49 \cdot 7^{2k} - 25 \cdot 5^{2k}$.

Представим $49$ как $24+25$ и сгруппируем слагаемые:

$(24+25) \cdot 7^{2k} - 25 \cdot 5^{2k} = 24 \cdot 7^{2k} + 25 \cdot 7^{2k} - 25 \cdot 5^{2k} = 24 \cdot 7^{2k} + 25(7^{2k} - 5^{2k})$.

Первое слагаемое $24 \cdot 7^{2k}$ очевидно делится на 24. Второе слагаемое $25(7^{2k} - 5^{2k})$ делится на 24, так как по индукционному предположению $(7^{2k} - 5^{2k})$ делится на 24. Сумма двух выражений, делящихся на 24, также делится на 24.

Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $k$, а значит, и для любого четного натурального $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что при любом четном натуральном $n$ выражение $5^n - 3^n$ делится на 16.

Пусть $n=2k$, где $k \in N$. Будем доказывать по индукции для $k \ge 1$, что $5^{2k} - 3^{2k}$ делится на 16.

База индукции: при $k=1$ (что соответствует $n=2$) имеем:

$5^{2 \cdot 1} - 3^{2 \cdot 1} = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$.

Число 16 делится на 16, следовательно, база индукции верна.

Индукционное предположение: предположим, что для некоторого натурального $k$ утверждение верно, то есть $(5^{2k} - 3^{2k})$ делится на 16. Это значит, что существует целое число $m$ такое, что $5^{2k} - 3^{2k} = 16m$.

Индукционный шаг: докажем, что утверждение верно для $k+1$, то есть что $(5^{2(k+1)} - 3^{2(k+1)})$ делится на 16. Преобразуем выражение:

$5^{2(k+1)} - 3^{2(k+1)} = 5^{2k+2} - 3^{2k+2} = 25 \cdot 5^{2k} - 9 \cdot 3^{2k}$.

Представим $25$ как $16+9$ и сгруппируем слагаемые:

$(16+9) \cdot 5^{2k} - 9 \cdot 3^{2k} = 16 \cdot 5^{2k} + 9 \cdot 5^{2k} - 9 \cdot 3^{2k} = 16 \cdot 5^{2k} + 9(5^{2k} - 3^{2k})$.

Первое слагаемое $16 \cdot 5^{2k}$ очевидно делится на 16. Второе слагаемое $9(5^{2k} - 3^{2k})$ делится на 16, так как по индукционному предположению $(5^{2k} - 3^{2k})$ делится на 16. Сумма двух выражений, делящихся на 16, также делится на 16.

Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $k$, а значит, и для любого четного натурального $n$.

Ответ: Доказано.