Номер 18.8, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.8. Найдите значение суммы:

1) $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)};$

2) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(3n - 2)(3n + 1)}.$

1)

Для нахождения значения суммы воспользуемся методом телескопического суммирования. Общий член суммы имеет вид $a_k = \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$.

Сначала представим дробь $\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$ в виде суммы двух простейших дробей:

$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{A}{2k - 1} + \frac{B}{2k + 1}$

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

$1 = A(2k + 1) + B(2k - 1)$

Для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ подставим значения $k$, которые обращают в ноль знаменатели:

Если $k = \frac{1}{2}$, то $1 = A(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.

Если $k = -\frac{1}{2}$, то $1 = B(2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 1) \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, общий член суммы можно записать как:

$a_k = \frac{1/2}{2k - 1} - \frac{1/2}{2k + 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Теперь запишем всю сумму, используя это разложение:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Распишем несколько первых и последнее слагаемое суммы:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]$

В этой сумме все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{3}$ и $+\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{5}$ и $+\frac{1}{5}$, и так далее. Остаются только первое слагаемое из первой скобки и последнее слагаемое из последней скобки.

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и упростим:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}$

Ответ: $\frac{n}{2n+1}$.

2)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Общий член суммы имеет вид $a_k = \frac{1}{(3k - 2)(3k + 1)}$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$.

Разложим дробь на простейшие:

$\frac{1}{(3k - 2)(3k + 1)} = \frac{A}{3k - 2} + \frac{B}{3k + 1}$

Приводя к общему знаменателю, имеем:

$1 = A(3k + 1) + B(3k - 2)$

Найдем коэффициенты $A$ и $B$:

Если $k = \frac{2}{3}$, то $1 = A(3 \cdot \frac{2}{3} + 1) \Rightarrow 1 = 3A \Rightarrow A = \frac{1}{3}$.

Если $k = -\frac{1}{3}$, то $1 = B(3 \cdot (-\frac{1}{3}) - 2) \Rightarrow 1 = -3B \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$.

Следовательно, общий член суммы равен:

$a_k = \frac{1/3}{3k - 2} - \frac{1/3}{3k + 1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k - 2} - \frac{1}{3k + 1} \right)$

Запишем исходную сумму с помощью этого разложения:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k - 2} - \frac{1}{3k + 1} \right) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k - 2} - \frac{1}{3k + 1} \right)$

Распишем слагаемые этой телескопической суммы:

$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right) + \dots + \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right) \right]$

Все внутренние члены суммы сокращаются. Остаются первый и последний члены:

$S_n = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right)$

Упростим выражение:

$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1-1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3n}{3n+1} = \frac{n}{3n+1}$

Ответ: $\frac{n}{3n+1}$.