Номер 18.13, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.13. Докажите, что любой член числовой последовательности ($a_n$), для которой:

1) $a_n = n^3 + 35n$ делится на 6;

2) $a_n = n^3 + 17n$ делится на 6;

3) $a_n = 4^n + 15n - 1$ делится на 9;

4) $a_n = 7^n + 3n - 1$ делится на 9.

1) $a_n = n^3 + 35n$ делится на 6

Для доказательства того, что выражение $a_n = n^3 + 35n$ делится на 6 для любого натурального $n$, необходимо показать, что оно делится на 2 и на 3, так как 2 и 3 — взаимно простые числа, и их произведение равно 6.

Преобразуем исходное выражение:

$a_n = n^3 + 35n = n^3 - n + 36n = n(n^2 - 1) + 36n = (n-1)n(n+1) + 36n$.

Полученное выражение является суммой двух слагаемых: $(n-1)n(n+1)$ и $36n$.

Первое слагаемое, $(n-1)n(n+1)$, представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Среди трех последовательных чисел всегда есть как минимум одно четное (делится на 2) и ровно одно, кратное трем (делится на 3). Следовательно, их произведение всегда делится на $2 \times 3 = 6$.

Второе слагаемое, $36n$, также делится на 6, так как коэффициент 36 делится на 6 ($36 = 6 \times 6$).

Поскольку оба слагаемых в сумме делятся на 6, то и вся сумма $a_n = (n-1)n(n+1) + 36n$ делится на 6 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано, что любой член последовательности $a_n = n^3 + 35n$ делится на 6.

2) $a_n = n^3 + 17n$ делится на 6

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Преобразуем выражение, чтобы выделить произведение трех последовательных чисел.

$a_n = n^3 + 17n = n^3 - n + 18n = (n-1)n(n+1) + 18n$.

Выражение состоит из двух слагаемых: $(n-1)n(n+1)$ и $18n$.

Как было показано ранее, произведение трех последовательных чисел $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на 6.

Второе слагаемое, $18n$, делится на 6, так как коэффициент 18 делится на 6 ($18 = 3 \times 6$).

Так как оба слагаемых делятся на 6, их сумма $a_n$ также делится на 6 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано, что любой член последовательности $a_n = n^3 + 17n$ делится на 6.

3) $a_n = 4^n + 15n - 1$ делится на 9

Докажем это утверждение методом математической индукции.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$a_1 = 4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18$.

Число 18 делится на 9 ($18 = 9 \cdot 2$), следовательно, база индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $k \ge 1$, то есть $a_k = 4^k + 15k - 1$ делится на 9. Это означает, что существует целое число $m$, такое что $4^k + 15k - 1 = 9m$.

Из этого предположения выразим $4^k$: $4^k = 9m - 15k + 1$.

Теперь докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $a_{k+1} = 4^{k+1} + 15(k+1) - 1$ также делится на 9.

Преобразуем выражение для $a_{k+1}$:

$a_{k+1} = 4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14$.

Подставим выражение для $4^k$ из нашего предположения:

$a_{k+1} = 4(9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 60k + 4 + 15k + 14 = 36m - 45k + 18$.

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$a_{k+1} = 9(4m - 5k + 2)$.

Так как $m$ и $k$ — целые числа, выражение в скобках $(4m - 5k + 2)$ также является целым числом. Следовательно, $a_{k+1}$ делится на 9.

По принципу математической индукции, мы доказали, что утверждение верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано, что любой член последовательности $a_n = 4^n + 15n - 1$ делится на 9.

4) $a_n = 7^n + 3n - 1$ делится на 9

Докажем это утверждение методом математической индукции.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$a_1 = 7^1 + 3 \cdot 1 - 1 = 7 + 3 - 1 = 9$.

Число 9 делится на 9, следовательно, база индукции верна.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $k \ge 1$, то есть $a_k = 7^k + 3k - 1$ делится на 9. Это означает, что $7^k + 3k - 1 = 9m$ для некоторого целого числа $m$.

Из этого предположения выразим $7^k$: $7^k = 9m - 3k + 1$.

Теперь докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $a_{k+1} = 7^{k+1} + 3(k+1) - 1$ также делится на 9.

Преобразуем выражение для $a_{k+1}$:

$a_{k+1} = 7^{k+1} + 3(k+1) - 1 = 7 \cdot 7^k + 3k + 3 - 1 = 7 \cdot 7^k + 3k + 2$.

Подставим выражение для $7^k$ из нашего предположения:

$a_{k+1} = 7(9m - 3k + 1) + 3k + 2 = 63m - 21k + 7 + 3k + 2 = 63m - 18k + 9$.

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$a_{k+1} = 9(7m - 2k + 1)$.

Так как $m$ и $k$ — целые числа, выражение в скобках $(7m - 2k + 1)$ также является целым числом. Следовательно, $a_{k+1}$ делится на 9.

По принципу математической индукции, мы доказали, что утверждение верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано, что любой член последовательности $a_n = 7^n + 3n - 1$ делится на 9.