Номер 18.26, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.26. Значение суммы трех последовательных чисел геометрической прогрессии равно 114. Эти числа можно рассматривать как первый, четвертый и двадцать пятый члены арифметической прогрессии. Найдите эти числа.

Пусть три последовательных члена геометрической прогрессии $(b_n)$ это $b, bq, bq^2$, где $b$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. По условию, их сумма равна 114:

$b + bq + bq^2 = 114$

$b(1 + q + q^2) = 114$ (1)

Эти три числа также являются первым, четвертым и двадцать пятым членами некоторой арифметической прогрессии $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Таким образом, мы имеем:

$b = a_1$

$bq = a_4 = a_1 + 3d$

$bq^2 = a_{25} = a_1 + 24d$

Подставим $a_1 = b$ в два последних уравнения, чтобы связать $b, q$ и $d$:

$bq = b + 3d \implies b(q-1) = 3d$ (2)

$bq^2 = b + 24d \implies b(q^2-1) = 24d$ (3)

Разделим уравнение (3) на уравнение (2), предполагая, что $d \neq 0$ и $b(q-1) \neq 0$. Так как сумма чисел не равна нулю, $b \neq 0$.

$\frac{b(q^2-1)}{b(q-1)} = \frac{24d}{3d}$

$\frac{q^2-1}{q-1} = 8$

Используя формулу разности квадратов $q^2-1 = (q-1)(q+1)$ и тот факт, что $q \neq 1$, мы можем сократить дробь:

$q+1 = 8 \implies q = 7$

Теперь, зная $q=7$, найдем $b$ из уравнения (1):

$b(1 + 7 + 7^2) = 114 \implies b(1 + 7 + 49) = 114 \implies b(57) = 114 \implies b = 2$.

Таким образом, три числа геометрической прогрессии: $2$, $2 \cdot 7 = 14$, $2 \cdot 7^2 = 98$. Проверим, могут ли числа 2, 14, 98 быть первым, четвертым и двадцать пятым членами арифметической прогрессии. Пусть $a_1 = 2$, $a_4 = 14$. Найдем разность $d$: $a_4 = a_1 + 3d \implies 14 = 2 + 3d \implies 3d = 12 \implies d = 4$. Теперь проверим $a_{25}$: $a_{25} = a_1 + 24d = 2 + 24 \cdot 4 = 2 + 96 = 98$. Условие выполняется.

Теперь рассмотрим случай, который мы исключили: $q=1$. Если $q=1$, то все члены геометрической прогрессии равны: $b, b, b$. Их сумма $b+b+b = 3b = 114$, откуда $b = 38$. Искомые числа: 38, 38, 38. Проверим условие для арифметической прогрессии: $a_1 = 38, a_4 = 38$. Отсюда $a_4 = a_1 + 3d \implies 38 = 38 + 3d \implies 3d = 0 \implies d = 0$. Если разность равна нулю, все члены арифметической прогрессии равны, значит $a_{25}=38$. Это согласуется с условием. Следовательно, это второе возможное решение.

Таким образом, существуют два набора чисел, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: 2, 14, 98 или 38, 38, 38.