Номер 18.29, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.29. На координатной плоскости с центром в начале координат постройте окружность радиусом 2 см. Постройте центральные углы в $30^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$, $150^\circ$.

Постройте окружность радиусом 2 см на координатной плоскости с центром в начале координат

Уравнение окружности с центром в начале координат, то есть в точке $O(0, 0)$, и радиусом $r$ имеет следующий вид: $x^2 + y^2 = r^2$.
Согласно условию задачи, радиус окружности $r = 2$ см. Подставим данное значение в уравнение:
$x^2 + y^2 = 2^2$
$x^2 + y^2 = 4$
Это уравнение определяет все точки $(x, y)$, которые находятся на нашей окружности. Для графического построения необходимо начертить систему координат $Oxy$ и, используя циркуль, провести окружность с центром в точке $O(0, 0)$ и радиусом, равным 2 единичным отрезкам. Окружность пересечет оси координат в точках с координатами $(2, 0)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(0, -2)$.
Ответ: Окружность с центром в $O(0, 0)$ и радиусом $r=2$ построена. Ее уравнение $x^2 + y^2 = 4$.

Постройте центральные углы в 30°, 45°, 90°, 150°

Центральный угол — это угол, вершина которого расположена в центре окружности (в нашем случае, в точке $O$), а его стороны являются радиусами этой окружности. Будем откладывать углы от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки. Это означает, что одна из сторон каждого угла будет совпадать с радиусом, соединяющим центр $O(0, 0)$ с точкой $A(2, 0)$ на окружности.
Вторые стороны углов, также являющиеся радиусами, будут проходить через следующие точки на окружности, координаты которых можно вычислить по формулам $x = r \cdot \cos(\alpha)$ и $y = r \cdot \sin(\alpha)$:
• Угол 30°: Вторая сторона проходит через точку $B(2 \cdot \cos(30^\circ), 2 \cdot \sin(30^\circ)) = B(\sqrt{3}, 1)$.
• Угол 45°: Вторая сторона проходит через точку $C(2 \cdot \cos(45^\circ), 2 \cdot \sin(45^\circ)) = C(\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
• Угол 90°: Вторая сторона проходит через точку $D(2 \cdot \cos(90^\circ), 2 \cdot \sin(90^\circ)) = D(0, 2)$.
• Угол 150°: Вторая сторона проходит через точку $E(2 \cdot \cos(150^\circ), 2 \cdot \sin(150^\circ)) = E(-\sqrt{3}, 1)$.
Построение можно осуществить при помощи транспортира, откладывая заданные углы от луча $OA$, или путем нанесения вычисленных точек на окружность и их соединения с центром.

Итоговое графическое построение, включающее окружность и все заданные центральные углы, представлено на рисунке.

Ответ: Центральные углы в $30^\circ, 45^\circ, 90^\circ, 150^\circ$ построены от положительного направления оси $Ox$, как показано на рисунке.