Страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

18.29. На координатной плоскости с центром в начале координат постройте окружность радиусом 2 см. Постройте центральные углы в $30^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$, $150^\circ$.

Постройте окружность радиусом 2 см на координатной плоскости с центром в начале координат

Уравнение окружности с центром в начале координат, то есть в точке $O(0, 0)$, и радиусом $r$ имеет следующий вид: $x^2 + y^2 = r^2$.
Согласно условию задачи, радиус окружности $r = 2$ см. Подставим данное значение в уравнение:
$x^2 + y^2 = 2^2$
$x^2 + y^2 = 4$
Это уравнение определяет все точки $(x, y)$, которые находятся на нашей окружности. Для графического построения необходимо начертить систему координат $Oxy$ и, используя циркуль, провести окружность с центром в точке $O(0, 0)$ и радиусом, равным 2 единичным отрезкам. Окружность пересечет оси координат в точках с координатами $(2, 0)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(0, -2)$.
Ответ: Окружность с центром в $O(0, 0)$ и радиусом $r=2$ построена. Ее уравнение $x^2 + y^2 = 4$.

Постройте центральные углы в 30°, 45°, 90°, 150°

Центральный угол — это угол, вершина которого расположена в центре окружности (в нашем случае, в точке $O$), а его стороны являются радиусами этой окружности. Будем откладывать углы от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки. Это означает, что одна из сторон каждого угла будет совпадать с радиусом, соединяющим центр $O(0, 0)$ с точкой $A(2, 0)$ на окружности.
Вторые стороны углов, также являющиеся радиусами, будут проходить через следующие точки на окружности, координаты которых можно вычислить по формулам $x = r \cdot \cos(\alpha)$ и $y = r \cdot \sin(\alpha)$:
• Угол 30°: Вторая сторона проходит через точку $B(2 \cdot \cos(30^\circ), 2 \cdot \sin(30^\circ)) = B(\sqrt{3}, 1)$.
• Угол 45°: Вторая сторона проходит через точку $C(2 \cdot \cos(45^\circ), 2 \cdot \sin(45^\circ)) = C(\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
• Угол 90°: Вторая сторона проходит через точку $D(2 \cdot \cos(90^\circ), 2 \cdot \sin(90^\circ)) = D(0, 2)$.
• Угол 150°: Вторая сторона проходит через точку $E(2 \cdot \cos(150^\circ), 2 \cdot \sin(150^\circ)) = E(-\sqrt{3}, 1)$.
Построение можно осуществить при помощи транспортира, откладывая заданные углы от луча $OA$, или путем нанесения вычисленных точек на окружность и их соединения с центром.

Итоговое графическое построение, включающее окружность и все заданные центральные углы, представлено на рисунке.

Ответ: Центральные углы в $30^\circ, 45^\circ, 90^\circ, 150^\circ$ построены от положительного направления оси $Ox$, как показано на рисунке.

18.30. На координатной плоскости с центром в начале координат постройте окружность радиусом 4 см. Постройте дугу с начальной точкой на положительной оси OX в $30^\circ$, $-45^\circ$, $-90^\circ$, $150^\circ$.

Сначала построим окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 4$ см. Уравнение этой окружности имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, то есть $x^2 + y^2 = 16$. Затем на этой окружности построим четыре дуги. Каждая дуга начинается от точки пересечения окружности с положительной полуосью OX, то есть от точки с координатами $(4, 0)$. Положительные углы задают отсчет дуги против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. На представленном ниже рисунке показана координатная плоскость, исходная окружность (светло-серая линия) и четыре искомые дуги, выделенные разными цветами.

30°
Для построения дуги в 30° мы откладываем от начальной точки (4, 0) угол 30° против часовой стрелки. Конечная точка дуги будет иметь координаты $(x, y)$, где $x = 4 \cdot \cos(30°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ и $y = 4 \cdot \sin(30°) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
Ответ: Дуга, соответствующая углу 30°, показана на рисунке красным цветом.

-45°
Знак "минус" указывает, что угол откладывается по часовой стрелке. Для построения дуги в -45° мы откладываем от начальной точки (4, 0) угол 45° по часовой стрелке. Конечная точка дуги будет иметь координаты $(x, y)$, где $x = 4 \cdot \cos(-45°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$ и $y = 4 \cdot \sin(-45°) = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2} \approx -2.83$.
Ответ: Дуга, соответствующая углу -45°, показана на рисунке синим цветом.

-90°
Аналогично предыдущему пункту, строим дугу, откладывая угол 90° по часовой стрелке от точки (4, 0). Эта дуга займет всю четвертую координатную четверть. Конечная точка дуги окажется на отрицательной полуоси OY и будет иметь координаты $(0, -4)$, так как $x = 4 \cdot \cos(-90°) = 0$ и $y = 4 \cdot \sin(-90°) = -4$.
Ответ: Дуга, соответствующая углу -90°, показана на рисунке зеленым цветом.

150°
Для построения дуги в 150° мы откладываем от начальной точки (4, 0) угол 150° против часовой стрелки. Дуга пройдет через всю первую координатную четверть и закончится во второй. Конечная точка дуги будет иметь координаты $(x, y)$, где $x = 4 \cdot \cos(150°) = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3} \approx -3.46$ и $y = 4 \cdot \sin(150°) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
Ответ: Дуга, соответствующая углу 150°, показана на рисунке фиолетовым цветом.