Вопросы, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. При доказательстве каких утверждений можно использовать метод математической индукции?

1. Метод математической индукции — это мощный инструмент для доказательства утверждений, которые зависят от натурального числа $n$. Его можно использовать для доказательства того, что некоторое свойство $P(n)$ выполняется для всех натуральных чисел $n$, начиная с некоторого начального значения $n_0$ (часто $n_0=1$ или $n_0=0$).

Суть метода заключается в двух основных шагах, которые можно сравнить с принципом домино: если мы можем толкнуть первую костяшку (база индукции) и уверены, что каждая падающая костяшка толкнет следующую (индукционный переход), то в итоге упадут все костяшки.

Шаги доказательства методом математической индукции:

1. База индукции (или базис индукции): Проверяется истинность утверждения $P(n)$ для начального значения $n=n_0$. Например, если нужно доказать утверждение для всех натуральных $n \ge 1$, то проверяют его истинность для $n=1$.

2. Индукционный переход (или индукционный шаг): Доказывается, что если утверждение $P(n)$ истинно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge n_0$ (это предположение называется индукционным предположением), то оно обязательно будет истинно и для следующего числа, то есть для $k+1$. Символически это записывается как доказательство импликации $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ для всех $k \ge n_0$.

Если оба этих шага успешно выполнены, то по принципу математической индукции делается вывод, что утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.

Типы утверждений, для которых применяется метод математической индукции:

• Доказательство тождеств и формул для сумм или произведений.
  Пример: Доказать, что сумма первых $n$ натуральных чисел равна $\frac{n(n+1)}{2}$, то есть $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ для всех $n \ge 1$.

• Доказательство неравенств.
  Пример: Доказать неравенство Бернулли $(1+x)^n \ge 1+nx$ для любого вещественного $x > -1$ и любого натурального $n \ge 1$.

• Доказательство утверждений о делимости.
  Пример: Доказать, что выражение $n^3 + 5n$ делится на 6 без остатка для любого натурального числа $n$.

• Доказательство утверждений в комбинаторике.
  Пример: Доказать, что у множества, состоящего из $n$ элементов, имеется ровно $2^n$ различных подмножеств.

• Доказательство геометрических теорем.
  Пример: Доказать, что $n$ прямых, проведенных на плоскости так, что никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, делят плоскость на $\frac{n^2+n+2}{2}$ областей.

• Доказательство свойств алгоритмов и структур данных в информатике.
  Пример: Доказательство корректности рекурсивного алгоритма или доказательство того, что высота сбалансированного двоичного дерева с $n$ узлами имеет порядок $O(\log n)$.

Ответ: Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, зависящих от натурального параметра $n$ (например, формул, тождеств, неравенств, свойств делимости), истинность которых нужно установить для всех натуральных чисел, начиная с некоторого $n_0$.