Номер 17.37, страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.37. Найдите значение суммы $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 11}$.

Для нахождения значения данной суммы, рассмотрим её слагаемые. Сумма имеет вид:

$S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 11}$

Знаменатели дробей представляют собой произведения последовательных нечетных чисел. Распишем все слагаемые, которые подразумеваются под многоточием:

$S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 11}$

Заметим, что каждую дробь вида $\frac{1}{n(n+2)}$ можно представить в виде разности двух дробей. Для этого воспользуемся следующим тождеством:

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$

Проверим это тождество, приведя правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{n+2 - n}{n(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)}$

Тождество верно. Теперь применим его к каждому слагаемому нашей суммы:

$\frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right)$

$\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)$

$\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right)$

$\frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right)$

$\frac{1}{9 \cdot 11} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right)$

Теперь подставим эти выражения обратно в сумму и вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$S = \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right) \right]$

Внутри скобок мы видим, что соседние слагаемые с противоположными знаками взаимно уничтожаются. Этот прием называется телескопическим суммированием.

$S = \frac{1}{2} \left[ 1 - \cancel{\frac{1}{3}} + \cancel{\frac{1}{3}} - \cancel{\frac{1}{5}} + \cancel{\frac{1}{5}} - \cancel{\frac{1}{7}} + \cancel{\frac{1}{7}} - \cancel{\frac{1}{9}} + \cancel{\frac{1}{9}} - \frac{1}{11} \right]$

После сокращения остаются только первое и последнее слагаемые:

$S = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{11}\right)$

Теперь выполним вычисления:

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{11}{11} - \frac{1}{11}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{11}$

$S = \frac{10}{2 \cdot 11} = \frac{5}{11}$

Ответ: $\frac{5}{11}$.