Номер 17.31, страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.31. Разложите на множители выражение:

1) $x^4 - 2x^3 + x - 2;$

2) $x^4 - 5x^3 - x + 5;$

3) $x^4 - 2x^3 - x^2 + 2;$

4) $x^4 + 4x^3 - x^2 - 4.$

1) Для разложения выражения $x^4 - 2x^3 + x - 2$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(x^4 - 2x^3) + (x - 2)$

Вынесем общий множитель $x^3$ из первой группы:

$x^3(x - 2) + 1(x - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^3 + 1)$

Выражение в скобках $x^3 + 1$ является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(x - 2)(x + 1)(x^2 - x + 1)$

Ответ: $(x - 2)(x + 1)(x^2 - x + 1)$.

2) Для разложения выражения $x^4 - 5x^3 - x + 5$ на множители используем метод группировки.

$(x^4 - 5x^3) - (x - 5)$

Вынесем $x^3$ из первой группы и $-1$ из второй:

$x^3(x - 5) - 1(x - 5)$

Вынесем общий множитель $(x - 5)$:

$(x - 5)(x^3 - 1)$

Выражение $x^3 - 1$ является разностью кубов и раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Окончательный вид разложения:

$(x - 5)(x - 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x - 5)(x - 1)(x^2 + x + 1)$.

3) Разложим на множители выражение $x^4 - 2x^3 - x^2 + 2$. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(x^4 - x^2) - (2x^3 - 2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x^2 - 1) - 2(x^3 - 1)$

Применим формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^2(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1)(x^2 + x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)[x^2(x + 1) - 2(x^2 + x + 1)]$

Раскроем скобки и упростим выражение внутри квадратных скобок:

$(x - 1)[x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x - 2] = (x - 1)(x^3 - x^2 - 2x - 2)$

Полученный многочлен третьей степени $x^3 - x^2 - 2x - 2$ не имеет рациональных корней, поэтому дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Ответ: $(x - 1)(x^3 - x^2 - 2x - 2)$.

4) Разложим на множители выражение $x^4 + 4x^3 - x^2 - 4$. Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 - x^2) + (4x^3 - 4)$

Вынесем общие множители:

$x^2(x^2 - 1) + 4(x^3 - 1)$

Используем формулы разности квадратов и разности кубов:

$x^2(x - 1)(x + 1) + 4(x - 1)(x^2 + x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)[x^2(x + 1) + 4(x^2 + x + 1)]$

Раскроем скобки и упростим:

$(x - 1)[x^3 + x^2 + 4x^2 + 4x + 4] = (x - 1)(x^3 + 5x^2 + 4x + 4)$

Многочлен $x^3 + 5x^2 + 4x + 4$ не имеет рациональных корней, поэтому он не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $(x - 1)(x^3 + 5x^2 + 4x + 4)$.