Номер 17.35, страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.35. При каких значениях $a$, $b$ и $c$ график функции $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $M(1; -3)$ и $N(6; -48)$ и имеет с осью абсцисс одну общую точку?

График функции $y = ax^2 + bx + c$ представляет собой параболу. Для нахождения коэффициентов $a, b, c$ воспользуемся условиями из задачи.

1. График проходит через точку $M(1; -3)$. Это означает, что при подстановке координат $x=1$ и $y=-3$ в уравнение функции мы получим верное равенство:
$a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = -3$
$a + b + c = -3$

2. График проходит через точку $N(6; -48)$. Аналогично подставляем координаты $x=6$ и $y=-48$:
$a \cdot 6^2 + b \cdot 6 + c = -48$
$36a + 6b + c = -48$

3. График имеет с осью абсцисс (осью Ox) одну общую точку. Это означает, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет ровно один корень. Такое возможно только тогда, когда дискриминант уравнения равен нулю:
$D = b^2 - 4ac = 0$

В результате мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными $a, b, c$:
$\begin{cases} a + b + c = -3 & \text{(1)} \\ 36a + 6b + c = -48 & \text{(2)} \\ b^2 - 4ac = 0 & \text{(3)} \end{cases}$

Решим эту систему. Сначала выразим переменную $c$ из первого уравнения:
$c = -3 - a - b$

Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:
$36a + 6b + (-3 - a - b) = -48$
$35a + 5b - 3 = -48$
$35a + 5b = -45$
Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:
$7a + b = -9$

Из полученного уравнения выразим $b$ через $a$:
$b = -9 - 7a$

Теперь выразим $c$ также через $a$, используя найденное выражение для $b$:
$c = -3 - a - b = -3 - a - (-9 - 7a) = -3 - a + 9 + 7a = 6a + 6$

Мы выразили $b$ и $c$ через $a$. Подставим эти выражения в третье уравнение системы ($b^2 - 4ac = 0$):
$(-9 - 7a)^2 - 4a(6a + 6) = 0$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $a$:
$(81 + 2 \cdot 9 \cdot 7a + 49a^2) - (24a^2 + 24a) = 0$
$81 + 126a + 49a^2 - 24a^2 - 24a = 0$
$25a^2 + 102a + 81 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D_a = 102^2 - 4 \cdot 25 \cdot 81 = 10404 - 100 \cdot 81 = 10404 - 8100 = 2304$
$\sqrt{D_a} = \sqrt{2304} = 48$

Корни уравнения для $a$:
$a_1 = \frac{-102 - 48}{2 \cdot 25} = \frac{-150}{50} = -3$
$a_2 = \frac{-102 + 48}{2 \cdot 25} = \frac{-54}{50} = -\frac{27}{25}$

Мы получили два возможных значения для коэффициента $a$. Для каждого из них найдем соответствующие значения $b$ и $c$.

Рассмотрим первый случай, когда $a = -3$:
$b = -9 - 7a = -9 - 7(-3) = -9 + 21 = 12$
$c = 6a + 6 = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12$
Таким образом, первая тройка коэффициентов найдена.
Ответ: $a = -3, b = 12, c = -12$.

Рассмотрим второй случай, когда $a = -\frac{27}{25}$:
$b = -9 - 7a = -9 - 7(-\frac{27}{25}) = -9 + \frac{189}{25} = -\frac{225}{25} + \frac{189}{25} = -\frac{36}{25}$
$c = 6a + 6 = 6(-\frac{27}{25}) + 6 = -\frac{162}{25} + \frac{150}{25} = -\frac{12}{25}$
Таким образом, найдена вторая тройка коэффициентов.
Ответ: $a = -\frac{27}{25}, b = -\frac{36}{25}, c = -\frac{12}{25}$.