Номер 17.22, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.22. Первый член бесконечной геометрической прогрессии ($c_n$) равен $c$, а знаменатель равен $q$. Найдите значение суммы:

1) $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + \dots$;

2) $(c_1 + c_2)^2 + (c_3 + c_4)^2 + (c_5 + c_6)^2 + \dots$;

3) $c_1^3 + c_2^3 + c_3^3 + \dots$;

4) $(c_1 - c_2)^2 + (c_3 - c_4)^2 + (c_5 - c_6)^2 + \dots$.

Исходная последовательность $(c_n)$ является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом $c_1 = c$ и знаменателем $q$. Общий член прогрессии имеет вид $c_n = c \cdot q^{n-1}$. Для того чтобы суммы бесконечных рядов сходились, необходимо, чтобы знаменатель соответствующей прогрессии был по модулю меньше единицы. Для исходной прогрессии это означает $|q| < 1$. Это условие мы будем считать выполненным для всех заданий.

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1-Q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $Q$ — её знаменатель ($|Q| < 1$).

1) $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + \dots$

Рассмотрим последовательность, членами которой являются квадраты членов исходной прогрессии: $c_1^2, c_2^2, c_3^2, \dots$.
Выразим члены новой последовательности через $c$ и $q$:
Первый член: $b_1 = c_1^2 = c^2$.
Второй член: $b_2 = c_2^2 = (cq)^2 = c^2q^2$.
Третий член: $b_3 = c_3^2 = (cq^2)^2 = c^2q^4$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как отношение любого члена к предыдущему постоянно:
$Q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c^2q^2}{c^2} = q^2$.
Так как по условию $|q| < 1$, то и $|Q| = |q^2| = |q|^2 < 1$. Следовательно, эта прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле:
$S = \frac{b_1}{1-Q} = \frac{c^2}{1-q^2}$.
Ответ: $\frac{c^2}{1-q^2}$

2) $(c_1 + c_2)^2 + (c_3 + c_4)^2 + (c_5 + c_6)^2 + \dots$

Рассмотрим последовательность, членами которой являются слагаемые данного ряда.
Найдем первый член $b_1$:
$b_1 = (c_1 + c_2)^2 = (c + cq)^2 = (c(1+q))^2 = c^2(1+q)^2$.
Найдем второй член $b_2$:
$b_2 = (c_3 + c_4)^2 = (cq^2 + cq^3)^2 = (cq^2(1+q))^2 = c^2q^4(1+q)^2$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией. Найдем ее знаменатель $Q$:
$Q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c^2q^4(1+q)^2}{c^2(1+q)^2} = q^4$.
Поскольку $|q| < 1$, то $|Q| = |q^4| = |q|^4 < 1$. Значит, ряд сходится.
Найдем его сумму:
$S = \frac{b_1}{1-Q} = \frac{c^2(1+q)^2}{1-q^4}$.
Знаменатель можно разложить на множители: $1-q^4 = (1-q^2)(1+q^2) = (1-q)(1+q)(1+q^2)$.
$S = \frac{c^2(1+q)^2}{(1-q)(1+q)(1+q^2)} = \frac{c^2(1+q)}{(1-q)(1+q^2)}$.
Ответ: $\frac{c^2(1+q)}{(1-q)(1+q^2)}$

3) $c_1^3 + c_2^3 + c_3^3 + \dots$

Рассмотрим последовательность, членами которой являются кубы членов исходной прогрессии: $c_1^3, c_2^3, c_3^3, \dots$.
Выразим члены новой последовательности через $c$ и $q$:
Первый член: $b_1 = c_1^3 = c^3$.
Второй член: $b_2 = c_2^3 = (cq)^3 = c^3q^3$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем:
$Q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c^3q^3}{c^3} = q^3$.
Так как $|q| < 1$, то $|Q| = |q^3| = |q|^3 < 1$. Прогрессия сходится.
Ее сумма равна:
$S = \frac{b_1}{1-Q} = \frac{c^3}{1-q^3}$.
Ответ: $\frac{c^3}{1-q^3}$

4) $(c_1 - c_2)^2 + (c_3 - c_4)^2 + (c_5 - c_6)^2 + \dots$

Рассмотрим последовательность, членами которой являются слагаемые данного ряда.
Найдем первый член $b_1$:
$b_1 = (c_1 - c_2)^2 = (c - cq)^2 = (c(1-q))^2 = c^2(1-q)^2$.
Найдем второй член $b_2$:
$b_2 = (c_3 - c_4)^2 = (cq^2 - cq^3)^2 = (cq^2(1-q))^2 = c^2q^4(1-q)^2$.
Эта последовательность является геометрической прогрессией. Найдем ее знаменатель $Q$:
$Q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c^2q^4(1-q)^2}{c^2(1-q)^2} = q^4$.
Поскольку $|q| < 1$, то $|Q| = |q^4| = |q|^4 < 1$. Ряд сходится.
Найдем его сумму:
$S = \frac{b_1}{1-Q} = \frac{c^2(1-q)^2}{1-q^4}$.
Разложим знаменатель на множители: $1-q^4 = (1-q)(1+q)(1+q^2)$.
$S = \frac{c^2(1-q)^2}{(1-q)(1+q)(1+q^2)} = \frac{c^2(1-q)}{(1+q)(1+q^2)}$.
Ответ: $\frac{c^2(1-q)}{(1+q)(1+q^2)}$