Номер 17.1, страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.1. Найдите значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

1) 1; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; ... ;

2) -25; -5; -1; -0,2; ... ;

3) 6; 1; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{36}$ ... .

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии $|q| < 1$.

1)

Дана последовательность $1; \frac{1}{3}; \frac{1}{9}; ...$

Это геометрическая прогрессия, так как отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется, значит, можно найти сумму.

Вычислим сумму по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

2)

Дана последовательность $-25; -5; -1; -0,2; ...$

Первый член прогрессии $b_1 = -25$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-5}{-25} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1$. Условие выполняется.

Вычислим сумму по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-25}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{-25}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}} = \frac{-25}{\frac{4}{5}} = -25 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{125}{4} = -31,25$.

Ответ: $-31,25$.

3)

Дана последовательность $6; 1; \frac{1}{6}; \frac{1}{36}; ...$

Первый член прогрессии $b_1 = 6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{6}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{1}{6}| = \frac{1}{6} < 1$. Условие выполняется.

Вычислим сумму по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{6}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{6}{\frac{6}{6} - \frac{1}{6}} = \frac{6}{\frac{5}{6}} = 6 \cdot \frac{6}{5} = \frac{36}{5} = 7,2$.

Ответ: $7,2$.