Номер 15.36, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.36. Упростите выражение и найдите его значение при $x = 2,5$:

1) $\frac{x^6 - 1}{x^2 + x + 1} : \frac{x^3 + 1}{x - 1} - 2;$

2) $\frac{x^9 - 1}{x^6 + x^3 + 1} : \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} - \frac{3(x + 1)}{x - 1}.$

1) Упростим выражение $\frac{x^6 - 1}{x^2 + x + 1} : \frac{x^3 + 1}{x - 1} - 2$.

Сначала выполним деление дробей. Для этого заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$\frac{x^6 - 1}{x^2 + x + 1} : \frac{x^3 + 1}{x - 1} = \frac{x^6 - 1}{x^2 + x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x^3 + 1}$

Разложим числитель первой дроби $x^6 - 1$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$ и $b=1$:

$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$

Подставим это в выражение:

$\frac{(x^3 - 1)(x^3 + 1)}{x^2 + x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x^3 + 1}$

Сократим общий множитель $(x^3 + 1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{x^3 - 1}{x^2 + x + 1} \cdot (x - 1)$

Теперь разложим на множители $x^3 - 1$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Подставим обратно в выражение:

$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} \cdot (x - 1)$

Сократим общий множитель $(x^2 + x + 1)$:

$(x - 1) \cdot (x - 1) = (x - 1)^2$

Теперь вернемся к исходному выражению, подставив упрощенную часть:

$(x - 1)^2 - 2$

Найдем значение этого выражения при $x = 2,5$:

$(2,5 - 1)^2 - 2 = (1,5)^2 - 2 = 2,25 - 2 = 0,25$

Ответ: $0,25$

2) Упростим выражение $\frac{x^9 - 1}{x^6 + x^3 + 1} : \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} - \frac{3(x+1)}{x-1}$.

Сначала выполним деление. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$\frac{x^9 - 1}{x^6 + x^3 + 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^3 + 1}$

Разложим на множители числитель первой дроби $x^9 - 1$. Представим его как разность кубов, где $a = x^3$ и $b=1$:

$x^9 - 1 = (x^3)^3 - 1^3 = (x^3 - 1)((x^3)^2 + x^3 \cdot 1 + 1^2) = (x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)$

Подставим это в выражение для деления:

$\frac{(x^3 - 1)(x^6 + x^3 + 1)}{x^6 + x^3 + 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^3 + 1}$

Сократим общий множитель $(x^6 + x^3 + 1)$:

$(x^3 - 1) \cdot \frac{x^2 - 1}{x^3 + 1} = \frac{(x^3 - 1)(x^2 - 1)}{x^3 + 1}$

Теперь разложим на множители оставшиеся многочлены:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$

Сократим общий множитель $(x + 1)$:

$\frac{(x - 1)^2(x^2 + x + 1)}{x^2 - x + 1}$

Теперь вернемся к исходному выражению. Оно имеет вид:

$\frac{(x - 1)^2(x^2 + x + 1)}{x^2 - x + 1} - \frac{3(x+1)}{x-1}$

Это выражение не упрощается до простого многочлена. Найдем его значение при $x = 2,5$.

Подставим $x = 2,5 = \frac{5}{2}$:

Первый член: $\frac{(\frac{5}{2} - 1)^2((\frac{5}{2})^2 + \frac{5}{2} + 1)}{(\frac{5}{2})^2 - \frac{5}{2} + 1} = \frac{(\frac{3}{2})^2(\frac{25}{4} + \frac{10}{4} + \frac{4}{4})}{\frac{25}{4} - \frac{10}{4} + \frac{4}{4}} = \frac{\frac{9}{4} \cdot \frac{39}{4}}{\frac{19}{4}} = \frac{\frac{351}{16}}{\frac{19}{4}} = \frac{351}{16} \cdot \frac{4}{19} = \frac{351}{4 \cdot 19} = \frac{351}{76}$.

Второй член: $\frac{3(\frac{5}{2}+1)}{\frac{5}{2}-1} = \frac{3 \cdot \frac{7}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{21}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{21}{3} = 7$.

Вычислим разность:

$\frac{351}{76} - 7 = \frac{351}{76} - \frac{7 \cdot 76}{76} = \frac{351 - 532}{76} = -\frac{181}{76}$

Ответ: $-\frac{181}{76}$