Вопросы, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какой формулой для нахождения значения суммы $n$ членов геометрической прогрессии удобно пользоваться при:

1) $q < 1$;

2) $q > 1$;

3) $q = 1$?

Существуют две основные, эквивалентные друг другу, формулы для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$, при условии что $q \neq 1$:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Выбор между этими формулами зависит от значения знаменателя $q$ и делается для удобства вычислений, чтобы по возможности избежать отрицательных чисел в знаменателе дроби.

1) q < 1

При $q < 1$ (включая случай, когда $|q| < 1$), знаменатель $1 - q$ будет положительным числом ($1 - q > 0$). Использование второй формулы является более удобным, так как позволяет работать с положительным знаменателем, что упрощает расчеты и уменьшает вероятность ошибки.

Ответ: Удобнее использовать формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

2) q > 1

При $q > 1$, знаменатель $q - 1$ будет положительным числом ($q - 1 > 0$). В этом случае удобнее использовать первую формулу, так как и числитель (при $b_1 > 0$), и знаменатель дроби будут положительными, что также делает вычисления проще.

Ответ: Удобнее использовать формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

3) q = 1

При $q = 1$ обе вышеуказанные формулы неприменимы, так как их знаменатель обращается в ноль ($q - 1 = 0$ и $1 - q = 0$), что приводит к делению на ноль. В этом случае геометрическая прогрессия представляет собой последовательность одинаковых членов, каждый из которых равен первому члену $b_1$. Последовательность выглядит так: $b_1, b_1, b_1, \dots, b_1$. Сумма первых $n$ членов такой последовательности — это просто первый член, умноженный на количество членов $n$.

Ответ: Используется формула $S_n = n \cdot b_1$.