Страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

66. В штате гаража числится 54 шофера. Найдите количество дней отдыха, которые может иметь каждый шофер в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин, из имеющихся 60, остаются в гараже для профилактического ремонта.

Для решения задачи сначала определим, сколько автомашин ежедневно находится в работе. Известно, что 25% из 60 автомашин остаются в гараже для ремонта. Найдем это количество:

$60 \text{ машин} \times 0.25 = 15$ машин.

Следовательно, количество машин, которые ежедневно выезжают на линию, равно:

$60 - 15 = 45$ машин.

Для управления 45 машинами ежедневно требуется 45 шоферов. Теперь рассчитаем общее количество рабочих смен (человеко-дней), которое необходимо выполнить за месяц, состоящий из 30 дней:

$45 \text{ шоферов/день} \times 30 \text{ дней} = 1350$ человеко-дней.

Общий штат гаража составляет 54 шофера. Рассчитаем общее количество человеко-дней, которое все шоферы могут предоставить за 30 дней (включая рабочие дни и дни отдыха):

$54 \text{ шофера} \times 30 \text{ дней} = 1620$ человеко-дней.

Общее количество дней отдыха для всех шоферов за месяц — это разница между общим фондом человеко-дней и необходимым для работы количеством человеко-дней:

$1620 - 1350 = 270$ дней отдыха (в сумме на всех шоферов).

Чтобы найти, сколько дней отдыха может иметь каждый шофер, разделим общее количество дней отдыха на общее количество шоферов:

$\frac{270 \text{ дней отдыха}}{54 \text{ шофера}} = 5$ дней.

Ответ: 5 дней.

67. a) В урне 4 белых и 8 красных шаров. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченный из урны шар окажется: 1) белый; 2) красный.

б) В урне 6 красных, 4 белых и 10 синих шаров. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченный из урны шар окажется: 1) красный; 2) не белый; 3) синий.

а)

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события $P(A)$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$: $P(A) = \frac{m}{n}$.

В урне находятся 4 белых и 8 красных шаров. Общее число шаров в урне, то есть общее число исходов, равно:

$n = 4 + 8 = 12$.

1) белый

Событие A — «извлеченный шар окажется белым». Число благоприятствующих этому событию исходов равно количеству белых шаров, то есть $m = 4$.

Вероятность извлечь белый шар:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) красный

Событие B — «извлеченный шар окажется красным». Число благоприятствующих этому событию исходов равно количеству красных шаров, то есть $m = 8$.

Вероятность извлечь красный шар:

$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б)

В урне находятся 6 красных, 4 белых и 10 синих шаров. Общее число шаров в урне составляет:

$n = 6 + 4 + 10 = 20$.

1) красный

Событие C — «извлеченный шар окажется красным». Число благоприятствующих исходов равно количеству красных шаров, $m = 6$.

Вероятность этого события:

$P(C) = \frac{m}{n} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Ответ: $0,3$.

2) не белый

Событие D — «извлеченный шар окажется не белым». Это означает, что он может быть либо красным, либо синим. Число благоприятствующих исходов равно сумме красных и синих шаров:

$m = 6 (\text{красных}) + 10 (\text{синих}) = 16$.

Вероятность этого события:

$P(D) = \frac{m}{n} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0,8$.

Ответ: $0,8$.

3) синий

Событие E — «извлеченный шар окажется синим». Число благоприятствующих исходов равно количеству синих шаров, $m = 10$.

Вероятность этого события:

$P(E) = \frac{m}{n} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

68. Брошена игральная кость. Найдите вероятность выпадения:

1) двух или трех очков;

2) пяти или четырех очков;

3) нечетного очка.

При решении задачи используется классическое определение вероятности. Стандартная игральная кость имеет 6 граней с числами от 1 до 6. Таким образом, общее число равновозможных исходов при одном броске составляет $n=6$.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

1) двух или трех очков
Событие заключается в том, что выпадет грань с двумя или тремя очками. Этому событию благоприятствуют 2 исхода: выпадение 2 и выпадение 3.Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 2$.Вероятность этого события:$P = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

2) пяти или четырех очков
Событие заключается в том, что выпадет грань с пятью или четырьмя очками. Этому событию благоприятствуют 2 исхода: выпадение 5 и выпадение 4.Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 2$.Вероятность этого события:$P = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

3) нечетного очка
Событие заключается в том, что выпадет грань с нечетным числом очков. Нечетными числами на гранях игральной кости являются 1, 3, 5.Этому событию благоприятствуют 3 исхода.Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 3$.Вероятность этого события:$P = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

69. Для экзамена подготовлены билеты с номерами от 1 до 30. Какова вероятность того, что взятый наугад школьником билет имеет:

1) однозначный номер;

2) нечетный номер?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула выглядит так: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятных исходов.

Всего для экзамена подготовлено 30 билетов с номерами от 1 до 30. Это означает, что общее число возможных исходов при вытягивании одного билета равно 30, то есть $n = 30$.

1) однозначный номер;

Событие A — у вытянутого билета однозначный номер. Благоприятными исходами для этого события являются билеты с номерами от 1 до 9 включительно. Перечислим их: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Количество таких билетов равно 9. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 9$.

Вероятность того, что школьник вытянет билет с однозначным номером, равна:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{9}{30}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$P(A) = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} = 0,3$

Ответ: $0,3$

2) нечетный номер?

Событие B — у вытянутого билета нечетный номер. В диапазоне чисел от 1 до 30 нечетными являются числа, которые не делятся на 2 без остатка. Это: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29. В ряду последовательных целых чисел от 1 до 30 ровно половина из них — нечетные. Чтобы найти их количество, нужно общее количество билетов разделить на 2. Число благоприятных исходов $m = 30 / 2 = 15$.

Вероятность того, что школьник вытянет билет с нечетным номером, равна:

$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{15}{30}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:

$P(B) = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: $0,5$

70. 1) В квадрат, длина стороны которого равна 4 см, наугад брошена точка А. Какова вероятность того, что точка А не попадет в квадрат, находящийся в первом квадрате, длина стороны которого равна 2 см?

2) В круг, длина радиуса которого равна 4 см, наугад брошена точка В. Найдите вероятность того, что эта точка попадет в круг, находящийся внутри первого круга, длина радиуса которого равна 2 см.

3) Случайным образом выбирается число из промежутка $[-2; 8]$. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 2x + 8 < 0$.

4) Случайным образом выбирается число из промежутка $[-3; 7]$. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 2x + 9 \le 0$.

1) Эта задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае, площади) благоприятствующей области к мере всей области.

Пусть $S_1$ — это площадь большого квадрата, а $S_2$ — площадь малого квадрата. Сторона большого квадрата $a_1 = 4$ см, следовательно, его площадь $S_1 = a_1^2 = 4^2 = 16$ см². Это общая площадь, куда может попасть точка. Сторона малого квадрата $a_2 = 2$ см, его площадь $S_2 = a_2^2 = 2^2 = 4$ см². Событие, которое нас интересует, — это то, что точка А *не попадет* в малый квадрат. Благоприятной для этого события является область, равная разности площадей большого и малого квадратов. Площадь благоприятного исхода $S_{fav} = S_1 - S_2 = 16 - 4 = 12$ см². Вероятность $P$ данного события равна отношению благоприятной площади к общей площади: $P = \frac{S_{fav}}{S_1} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$.
Ответ: $0.75$

2) Эта задача также на геометрическую вероятность. Вероятность вычисляется как отношение площадей.

Пусть $S_1$ — это площадь большого круга, а $S_2$ — площадь малого круга. Радиус большого круга $R = 4$ см, его площадь $S_1 = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см². Это общая площадь. Радиус малого круга $r = 2$ см, его площадь $S_2 = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см². Событие, которое нас интересует, — это попадание точки в малый круг. Таким образом, площадь малого круга является благоприятной площадью. Вероятность $P$ данного события равна отношению площади малого круга к площади большого круга: $P = \frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi}{16\pi} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25$.
Ответ: $0.25$

3) В этой задаче вероятность определяется как отношение длины благоприятного промежутка к длине всего промежутка.

Общий промежуток, из которого выбирается число, — это отрезок $[-2; 8]$. Его длина $L_{total} = 8 - (-2) = 10$. Благоприятным исходом является выбор числа, которое является решением неравенства $x^2 - 2x + 8 < 0$. Рассмотрим квадратный трехчлен $y = x^2 - 2x + 8$. Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Найдем дискриминант соответствующего уравнения $x^2 - 2x + 8 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$. Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ох и полностью расположена над ней. Следовательно, выражение $x^2 - 2x + 8$ всегда положительно при любом значении $x$. Таким образом, неравенство $x^2 - 2x + 8 < 0$ не имеет решений. Множество решений пустое. Длина благоприятного промежутка $L_{fav} = 0$. Вероятность $P$ равна: $P = \frac{L_{fav}}{L_{total}} = \frac{0}{10} = 0$.
Ответ: $0$

4) Эта задача аналогична предыдущей.

Общий промежуток — это отрезок $[-3; 7]$. Его длина $L_{total} = 7 - (-3) = 10$. Нужно найти вероятность того, что случайно выбранное число является решением неравенства $x^2 - 2x + 9 \le 0$. Рассмотрим квадратный трехчлен $y = x^2 - 2x + 9$. Это парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Найдем дискриминант уравнения $x^2 - 2x + 9 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = -32$. Дискриминант $D < 0$, поэтому уравнение не имеет действительных корней, а парабола целиком лежит выше оси Ох. Это означает, что выражение $x^2 - 2x + 9$ всегда строго положительно. Следовательно, неравенство $x^2 - 2x + 9 \le 0$ не имеет решений. Длина благоприятного промежутка $L_{fav} = 0$. Вероятность $P$ равна: $P = \frac{L_{fav}}{L_{total}} = \frac{0}{10} = 0$.
Ответ: $0$